Вычисли и сделай проверку, поменяв слагаемые местами:
106 + 294 + 530;
472 + 280 + 198;
620 + 137 + 209.
1) 106 + 294 + 530 = 930.
Проверка: 530 + 294 + 106 = 930.
2) 472 + 280 + 198 = 950.
Проверка: 198 + 280 + 472 = 950.
3) 620 + 137 + 209 = 966.
Проверка: 209 + 137 + 620 = 966.
Ответ: 930; 950; 966.
Пояснения
Шаг 1. Все три слагаемых записываем по разрядам: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями.
В первой сумме складываем единицы: 6 + 4 + 0 = 10. Записываем 0 единиц, а 1 десяток переносим в следующий разряд.
Десятки первой суммы: 0 + 9 + 3 + 1 = 13. Записываем 3 десятка и переносим 1 сотню.
Сотни: 1 + 2 + 5 + 1 = 9. Получаем 930.
Для проверки переставляем крайние слагаемые: 530 + 294 + 106. По переместительному свойству сумма остаётся равной 930.
Во второй сумме единицы дают 2 + 0 + 8 = 10. Записываем 0 и переносим 1 десяток.
Шаг 2. Десятки: 7 + 8 + 9 + 1 = 25. Записываем 5 десятков, а 2 сотни переносим в разряд сотен.
Сотни: 4 + 2 + 1 + 2 = 9. Получаем 950.
Меняем порядок слагаемых: 198 + 280 + 472. Поразрядное сложение снова даёт 950.
В третьей сумме единицы: 0 + 7 + 9 = 16. Записываем 6 и переносим 1 десяток.
Десятки: 2 + 3 + 0 + 1 = 6. Нового переноса в сотни нет.
Сотни: 6 + 1 + 2 = 9. Получаем 966.
Проверяем третью сумму перестановкой: 209 + 137 + 620 = 966.
Шаг 3. Маленькие цифры переноса расположены над тем разрядом, к которому их нужно прибавить.
Совпадение исходной суммы и суммы после перестановки подтверждает все три результата.
Перестановка слагаемых не меняет сумму, поэтому такая проверка подтверждает не только итог, но и правильность всех переносов между разрядами.
Дополнительная поразрядная проверка подтверждает каждую цифру полученных результатов.
1) 106 + 294 + 530 = 930.
Проверка: 530 + 294 + 106 = 930.
2) 472 + 280 + 198 = 950.
Проверка: 198 + 280 + 472 = 950.
3) 620 + 137 + 209 = 966.
Проверка: 209 + 137 + 620 = 966.
Удобная группировка слагаемых:
106 + 294 + 530 = 400 + 530 = 930;
472 + 280 + 198 = 472 + 478 = 950;
620 + 137 + 209 = 620 + 346 = 966.
После перестановки получаем те же суммы:
530 + 294 + 106 = 930;
198 + 280 + 472 = 950;
209 + 137 + 620 = 966.
Во всех трёх проверках изменён только порядок слагаемых, а их значения сохранены.
1) Выпиши названия всех прямых углов.
2) Измерь длину каждого звена ломаной в миллиметрах и вычисли длину этой ломаной. Вырази результат в сантиметрах и миллиметрах.
1) Прямые углы: ∠DKE, ∠KEM.
2) AB = 28 мм, BC = 20 мм, CD = 23 мм, DK = 26 мм, KE = 16 мм, EM = 16 мм, MP = 15 мм.
AP = AB + BC + CD + DK + KE + EM + MP.
AP = 28 + 20 + 23 + 26 + 16 + 16 + 15 = 144 (мм).
144 мм = 14 см 4 мм.
Ответ: длина ломаной равна 14 см 4 мм.
Пояснения
Шаг 1. Угол образован двумя лучами с общей вершиной. Прямой угол имеет величину 90 градусов.
Сравниваем направления соседних звеньев в каждой вершине ломаной.
В вершине K звенья KD и KE расположены перпендикулярно, поэтому ∠DKE является прямым.
В вершине E звенья EK и EM также перпендикулярны, поэтому ∠KEM является прямым.
Остальные соседние звенья образуют острые или тупые углы, поэтому в ответ их не включаем.
На схеме отмечены оба прямых угла и длины всех звеньев.
Ломаная проходит от точки A к точке P через точки B, C, D, K, E и M.
Шаг 2. Её длина равна сумме длин семи звеньев: AB, BC, CD, DK, KE, EM и MP.
Подставляем измеренные длины в миллиметрах: 28 + 20 + 23 + 26 + 16 + 16 + 15.
Складываем последовательно: 28 + 20 = 48, 48 + 23 = 71, 71 + 26 = 97.
Продолжаем: 97 + 16 = 113, 113 + 16 = 129, 129 + 15 = 144 мм.
Переводим миллиметры в сантиметры. В одном сантиметре 10 миллиметров.
В числе 144 мм содержатся 14 полных сантиметров и остаются 4 миллиметра.
Получаем окончательную длину ломаной: 14 см 4 мм.
Сумма длин всех звеньев равна 144 мм, а обратный перевод 14 см 4 мм снова даёт 144 мм.
Чтобы заполнить бочку вместимостью 96 л, нужно принести 12 вёдер воды. Сколько литров воды входит в 1 ведро? в 2 ведра? в 5 вёдер?
1) 96 : 12 = 8 (л) - в одном ведре.
2) 8 · 2 = 16 (л) - в двух вёдрах.
3) 8 · 5 = 40 (л) - в пяти вёдрах.
Ответ: 8 л; 16 л; 40 л.
Пояснения
Шаг 1. Все двенадцать вёдер одинаковые, поэтому в каждом находится одинаковый объём воды.
Сопоставляем четыре случая в таблице: 12, 1, 2 и 5 вёдер.
| Объём одного ведра | Количество вёдер | Общий объём |
|---|---|---|
| Одинаковый | 12 | 96 л |
| Одинаковый | 1 | ? |
| Одинаковый | 2 | ? |
| Одинаковый | 5 | ? |
Используем зависимость: объём одного ведра · количество вёдер = общий объём воды.
Для двенадцати вёдер известен общий объём 96 л, но объём одного ведра неизвестен.
Шаг 2. Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делим на известный множитель.
Вычисляем 96 : 12 = 8 л. Это вместимость одного ведра.
Проверяем: 8 · 12 = 96 л, значит, объём одного ведра найден верно.
Для двух вёдер берём объём 8 л два раза.
Шаг 3. Выполняем умножение: 8 · 2 = 16 л.
Проверяем сложением одинаковых слагаемых: 8 + 8 = 16 л.
Для пяти вёдер объём 8 л повторяется пять раз.
Выполняем умножение: 8 · 5 = 40 л.
Проверяем: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40 л.
Шаг 4. Все ответы записываем в литрах, потому что в вопросах требуется объём воды.
Первое действие находит постоянную величину - вместимость одного ведра.
Второе и третье действия используют эту величину для нужного количества вёдер.
Шаг 5. Ответы следуют порядку вопросов: одно ведро, два ведра, пять вёдер.
Полученные объёмы меньше вместимости бочки 96 л, что соответствует условию.
Для наглядной проверки сравниваем количества: 2 ведра в 2 раза больше одного, поэтому 16 л в 2 раза больше 8 л; 5 вёдер в 5 раз больше одного, поэтому 40 л в 5 раз больше 8 л.
Если сложить объёмы двух и пяти вёдер, получится 16 + 40 = 56 л, но это дополнительная проверка, а не отдельный ответ задачи.
В саду 16 яблонь. Под каждое дерево нужно вылить по 10 вёдер воды. Сколько вёдер воды нужно для полива всех этих яблонь?
10 · 16 = 160 (вёдер) - потребуется для полива всех яблонь.
Ответ: 160 вёдер воды.
Пояснения
Шаг 1. Для каждой из шестнадцати яблонь требуется одно и то же количество воды - по 10 вёдер.
Записываем известные данные и искомое общее количество в таблице.
| Вёдер для одного дерева | Количество яблонь | Всего вёдер |
|---|---|---|
| 10 | 16 | ? |
Используем зависимость: вёдер для одного дерева · количество деревьев = всего вёдер.
Число 10 должно повториться шестнадцать раз, поэтому одинаковые слагаемые заменяем умножением.
Составляем выражение 10 · 16.
Шаг 2. Умножение на 10 дописывает к числу один ноль: 16 · 10 = 160.
Переместительное свойство позволяет записать 10 · 16 = 16 · 10.
Получаем 160 вёдер для всех шестнадцати яблонь.
Проверяем делением: 160 : 16 = 10 вёдер для одного дерева.
Можно проверить и другим делением: 160 : 10 = 16 деревьев.
Шаг 3. Обе проверки возвращают исходные данные задачи.
В ответе указываем единицу величины - вёдра воды.
Следовательно, для полного полива сада потребуется 160 вёдер.
Можно представить полив как шестнадцать одинаковых групп по 10 вёдер: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 160.
Найденное число относится ко всем яблоням вместе, поэтому к результату не нужно прибавлять или вычитать дополнительные вёдра.
Проверка делением возвращает число яблонь: 160 : 10 = 16.
1) Вычисли значения выражений:
45 + 27 : 3 − 12;
90 − 36 : 3 · 2;
84 : 4 · 3 + 2;
100 − 10 · 9 − 8;
17 + 15 · 3 · 0;
5 · 5 + 75 : 5;
17 · 3 + 2 · 10;
80 − 5 · 2 : 10;
72 : 6 + 6 · 5.
2) Измени порядок действий с помощью скобок и вычисли значения полученных выражений.
1) Исходный порядок действий
45 2+ 27 1: 3 3− 12 = 42
1) 27 : 3 = 9
2) 45 + 9 = 54
3) 54 − 12 = 42
90 3− 36 1: 3 2· 2 = 66
1) 36 : 3 = 12
2) 12 · 2 = 24
3) 90 − 24 = 66
84 1: 4 2· 3 3+ 2 = 65
1) 84 : 4 = 21
2) 21 · 3 = 63
3) 63 + 2 = 65
100 2− 10 1· 9 3− 8 = 2
1) 10 · 9 = 90
2) 100 − 90 = 10
3) 10 − 8 = 2
17 3+ 15 1· 3 2· 0 = 17
1) 15 · 3 = 45
2) 45 · 0 = 0
3) 17 + 0 = 17
5 1· 5 3+ 75 2: 5 = 40
1) 5 · 5 = 25
2) 75 : 5 = 15
3) 25 + 15 = 40
17 1· 3 3+ 2 2· 10 = 71
1) 17 · 3 = 51
2) 2 · 10 = 20
3) 51 + 20 = 71
80 3− 5 1· 2 2: 10 = 79
1) 5 · 2 = 10
2) 10 : 10 = 1
3) 80 − 1 = 79
72 1: 6 3+ 6 2· 5 = 42
1) 72 : 6 = 12
2) 6 · 5 = 30
3) 12 + 30 = 42
2) Порядок действий после добавления скобок
(45 1+ 27) 2: 3 3− 12 = 12
1) 45 + 27 = 72
2) 72 : 3 = 24
3) 24 − 12 = 12
(90 1− 36) 2: 3 3· 2 = 36
1) 90 − 36 = 54
2) 54 : 3 = 18
3) 18 · 2 = 36
84 2: 4 3· (3 1+ 2) = 105
1) 3 + 2 = 5
2) 84 : 4 = 21
3) 21 · 5 = 105
(100 1− 10) 2· 9 3− 8 = 802
1) 100 − 10 = 90
2) 90 · 9 = 810
3) 810 − 8 = 802
(17 1+ 15) 2· 3 3· 0 = 0
1) 17 + 15 = 32
2) 32 · 3 = 96
3) 96 · 0 = 0
5 2· (5 1+ 75) 3: 5 = 80
1) 5 + 75 = 80
2) 5 · 80 = 400
3) 400 : 5 = 80
17 2· (3 1+ 2) 3· 10 = 850
1) 3 + 2 = 5
2) 17 · 5 = 85
3) 85 · 10 = 850
(80 1− 5) 2· 2 3: 10 = 15
1) 80 − 5 = 75
2) 75 · 2 = 150
3) 150 : 10 = 15
72 2: (6 1+ 6) 3· 5 = 30
1) 6 + 6 = 12
2) 72 : 12 = 6
3) 6 · 5 = 30
Пояснения
Шаг 1. Синие номера над знаками показывают последовательность вычислений в каждом выражении.
Без скобок сначала выполняем умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание слева направо.
В первом исходном выражении деление даёт 9, затем 45 + 9 = 54 и 54 − 12 = 42.
Во втором получаем 36 : 3 = 12, 12 · 2 = 24 и 90 − 24 = 66.
В третьем: 84 : 4 = 21, 21 · 3 = 63, 63 + 2 = 65.
В четвёртом сначала 10 · 9 = 90, затем 100 − 90 − 8 = 2.
В пятом произведение содержит множитель 0, поэтому оно равно нулю, а всё выражение равно 17.
В шестом отдельно находим 5 · 5 = 25 и 75 : 5 = 15, затем складываем и получаем 40.
В седьмом складываем результаты двух произведений: 51 + 20 = 71.
В восьмом выполняем 5 · 2 : 10 = 1 и вычитаем единицу из 80, получая 79.
В девятом складываем 72 : 6 = 12 и 6 · 5 = 30, получая 42.
Во второй части скобки специально меняют первое действие каждого выражения.
После скобок первое выражение равно 12, второе - 36, третье - 105.
Четвёртое изменённое выражение равно 802, потому что сначала 100 − 10, затем умножение на 9.
Шаг 2. Пятое изменённое выражение равно нулю: последним действием выполняется умножение на 0.
Шестое изменённое выражение равно 80, седьмое - 850.
Восьмое изменённое выражение равно 15, а не 79: скобки заставляют сначала вычислить 80 − 5.
Девятое изменённое выражение равно 30, потому что сначала получаем 6 + 6 = 12.
Все восемнадцать выражений имеют по три пронумерованных действия и полный набор промежуточных вычислений.
Итоги первой части: 42, 66, 65, 2, 17, 40, 71, 79, 42. Итоги второй части: 12, 36, 105, 802, 0, 80, 850, 15, 30.
Скобки во второй части поставлены так, чтобы первым стало другое действие. Поэтому новые значения отличаются от первой последовательности, хотя числа и знаки сохранены.
Игра «Кто первым получит 100?»
Двое по очереди выбирают число от 1 до 10 и прибавляют его к общей сумме. Выигрывает тот, кто первым получит 100. Объясни, почему выгодно первым получать числа 89, 79, 69, ... .
Сумма 89 действительно является решающей: если соперник прибавит число k от 1 до 10, нужно прибавить 11 − k и получить 100.
Однако для правил, записанных в условии, гарантированная цепочка имеет вид:
1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100.
Числа 79 и 69 сами по себе победу не гарантируют: соперник может прибавить 10. Поэтому точная стратегия строится с шагом 11.
Пояснения
Шаг 1. Сначала рассматриваем последний этап игры. Если наш ход заканчивается на сумме 89, до 100 остаётся 11.
Соперник обязан прибавить число k от 1 до 10. После его хода до 100 останется число 11 − k.
Число 11 − k также находится от 1 до 10, поэтому его разрешено назвать своим следующим ходом.
Два хода вместе увеличивают сумму ровно на 11, и мы получаем 100.
Шаг 2. Чтобы гарантированно первым получить 89, перед этим нужно своим ходом получить 78.
После суммы 78 соперник прибавляет k, а мы снова дополняем его число до 11. Получается 78 + 11 = 89.
Так же строятся предыдущие опорные суммы: 67, 56, 45, 34, 23, 12 и 1.
Если первым ходом назвать 1, то после каждого хода соперника называем дополнение его числа до 11.
Шаг 3. Например, соперник прибавил 4 - прибавляем 7; соперник прибавил 9 - прибавляем 2.
Каждая пара ходов даёт 11, поэтому наши суммы последовательно становятся 12, 23, 34 и далее.
В формулировке с числами 89, 79, 69 разность равна 10, но она не соответствует диапазону ходов от 1 до 10.
Если после 79 соперник прибавит 10, именно он получит 89 и сможет применить решающий приём.
Шаг 4. Решающая формула ответа: ход соперника k + наш ход (11 − k) = 11.
Следуя этой стратегии, последним своим ходом получаем ровно 100 и выигрываем.
Вычисли: 386 + 294 + 187.
386 + 294 + 187 = 867.
Пояснения
Шаг 1.
Начинаем с единиц: 6 + 4 + 7 = 17.
Семь единиц записываем в ответе, а один десяток переносим в разряд десятков.
Складываем десятки: 8 + 9 + 8 = 25 и прибавляем перенесённый десяток.
Получаем 26 десятков: 6 десятков записываем, а 2 сотни переносим в следующий разряд.
Складываем сотни: 3 + 2 + 1 = 6 и прибавляем 2 перенесённые сотни.
Получаем 8 сотен. Итоговая сумма равна 867.
Маленькая цифра 1 стоит над десятками, а цифра 2 - над сотнями, то есть над принимающими разрядами.
Проверяем удобной группировкой: 386 + 294 = 680, затем 680 + 187 = 867.
Оба способа дают одинаковый результат, поэтому вычисление выполнено верно.
386 + 294 + 187 = 867.
Можно сгруппировать второе и третье слагаемые: 294 + 187 = 481, затем 386 + 481 = 867. Перестановка и группировка слагаемых не изменяют сумму.