ГДЗ Математика 4 класс Моро учебник 1 часть — страница 76

Шаг 1. В первом равенстве действует переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.

Левая часть первого равенства равна 5 · 17 · 2, а правая - 5 · 2 · 17. В обеих частях используются одни и те же три множителя.

Проверяем вычислением: 5 · 17 · 2 = 85 · 2 = 170.

В правой части удобнее сначала умножить 5 на 2: 5 · 2 · 17 = 10 · 17 = 170.

Во втором равенстве применено распределительное свойство умножения относительно сложения.

Сначала можно найти сумму 6 + 8 = 14 и вычислить 14 · 4 = 56.

Можно умножить на 4 каждое слагаемое отдельно: 6 · 4 + 8 · 4 = 24 + 32 = 56.

Оба способа дали 56, поэтому второе равенство верно.

В третьем равенстве распределительное свойство применяется сразу к четырём слагаемым.

Левая часть: 9 + 5 + 1 + 6 = 21, затем 21 · 8 = 168.

Правая часть: 9 · 8 + 5 · 8 + 1 · 8 + 6 · 8 = 72 + 40 + 8 + 48 = 168.

Совпадение значений левой и правой частей подтверждает каждое из трёх равенств.

Шаг 1. Буквы c и b обозначают любые числа.

Запись c · 1 = c выражает свойство единицы при умножении.

Умножить число на 1 означает взять это число один раз.

Поэтому результат совпадает с самим числом.

Например, 27 · 1 = 27.

Если вместо c взять 540, получим 540 · 1 = 540.

Переместительное свойство даёт также 1 · c = c.

Запись b · 0 = 0 выражает свойство нуля при умножении.

Шаг 2. Умножить число на 0 означает не взять ни одной одинаковой группы.

В результате не получится ни одной единицы, поэтому произведение равно нулю.

Например, 38 · 0 = 0.

Если b = 1000, то 1000 · 0 = 0.

По переместительному свойству верно и 0 · b = 0.

Единица сохраняет множимое число, а ноль превращает произведение в ноль.

Эти равенства верны при любых допустимых значениях букв.

Равенства сохраняются при любом выборе числовых значений букв.

Шаг 1. В каждой колонке таблицы числа a и b являются множителями.

Нижняя клетка содержит их произведение a · b.

Если известны оба множителя, перемножаем их.

В первой колонке 24 · 5 = 120, поэтому вписываем 120.

Во второй колонке 25 · 1 = 25.

Умножение на единицу сохраняет число.

В третьей колонке 52 · 0 = 0.

Умножение на ноль даёт ноль.

В четвёртой колонке неизвестен первый множитель: a · 3 = 54.

Делим 54 : 3 = 18, поэтому a = 18.

Проверяем: 18 · 3 = 54.

В пятой колонке a · 6 = 96.

Делим 96 : 6 = 16, поэтому a = 16.

Проверка: 16 · 6 = 96.

Шаг 2. В шестой колонке 12 · b = 84.

Делим 84 : 12 = 7, поэтому b = 7.

В седьмой колонке 21 · b = 63.

Делим 63 : 21 = 3, поэтому b = 3.

Проверяем заполненные значения по зависимости между величинами.

Общее правило: неизвестный множитель равен произведению, делённому на известный множитель.

Перемножением найденного и известного множителей проверяем каждую заполненную клетку.

Все семь колонок удовлетворяют связи a · b = произведение.

Порядок заполнения зависит от места пропуска: если пусто в строке произведения, выполняем умножение; если пусто в строке a или b, выполняем деление.

Для нулевого произведения в третьей колонке деление применять нельзя, но известный второй множитель уже равен нулю, поэтому результат сразу определяется свойством нуля.

Колонки 24 · 5, 25 · 1 и 52 · 0 показывают три разных случая: обычное умножение, умножение на 1 и умножение на 0.

Колонки с результатами 54, 96, 84 и 63 тренируют обратную связь между произведением и неизвестным множителем.

Шаг 1. Произведение чисел a и b записывается как a · b.

Буква a обозначает первый множитель.

Буква b обозначает второй множитель.

По условию a = 72, поэтому вместо a подставляем 72.

По условию b = 3, поэтому вместо b подставляем 3.

Получаем числовое произведение 72 · 3.

Умножение на 3 можно заменить суммой трёх одинаковых слагаемых.

Вычисляем 72 + 72 + 72 = 216.

Шаг 2. Можно умножить по разрядам: 70 · 3 = 210 и 2 · 3 = 6.

Складываем 210 + 6 = 216.

Проверяем делением: 216 : 3 = 72.

Проверка восстановила первый множитель.

Также 216 : 72 = 3.

Оба значения букв использованы один раз.

Значение выражения a · b при заданных значениях равно 216.

Шаг 1. Выражение 16 · 4 означает четыре одинаковые группы по 16 единиц или шестнадцать групп по 4 единицы.

Для первой задачи выбираем связь цены, количества и стоимости.

Составляем условие: одна тетрадь стоит 4 рубля, купили 16 тетрадей.

Требуется найти стоимость всех тетрадей.

Стоимость равна цене одной вещи, умноженной на количество вещей.

Данные первой задачи собраны в таблице.

Шаг 2. Вычисляем 4 · 16 = 16 · 4 = 64 рубля.

Переместительное свойство позволяет записать множители в порядке исходного выражения.

Проверяем делением: 64 : 16 = 4 рубля за тетрадь.

Проверяем количество: 64 : 4 = 16 тетрадей.

Первая задача полностью соответствует произведению 16 · 4.

Для второй задачи выбираем связь ежедневного результата и числа дней.

Шаг 3. Составляем условие: ученик читал по 16 страниц ежедневно в течение 4 дней.

Требуется найти общее число прочитанных страниц.

Общий результат равен числу страниц за день, умноженному на число дней.

Данные второй задачи представлены отдельно.

Вычисляем 16 · 4 = 64 страницы.

Проверяем сложением: 16 + 16 + 16 + 16 = 64.

Проверяем делением: 64 : 4 = 16 страниц за день.

Шаг 4. В обеих задачах используется одно выражение, но величины и жизненные ситуации различаются.

Первый множитель 16 обозначает количество тетрадей в первой записи или страниц за день во второй.

Второй множитель 4 обозначает цену одной тетради либо количество дней.

Произведение 64 получает разные единицы: рубли и страницы.

Шаг 5. Именно единицы величин делают задачи разными, хотя числовое вычисление одинаково.

Обе задачи имеют вопрос, все нужные данные и однозначный ответ.

Шаг 6. В первой задаче произведение можно прочитать как сумму стоимости шестнадцати одинаковых тетрадей: 4 + 4 + ... + 4, где число 4 повторяется 16 раз.

Вторая задача соответствует другому прочтению: 16 + 16 + 16 + 16, потому что одинаковый дневной результат повторяется четыре дня.

Шаг 7. Обе повторяющиеся суммы имеют значение 64 благодаря переместительному свойству умножения: 4 · 16 = 16 · 4.

При составлении собственной задачи важно, чтобы одна величина обозначала размер одинаковой группы, а другая - количество таких групп.

Шаг 8. Нельзя использовать два несвязанных числа: условие должно прямо объяснять, почему именно 16 умножается на 4.

Итоговые формулировки различаются по сюжету, вопросу и единице ответа, поэтому это действительно две разные задачи.

Шаг 1. Сначала составляем условие данной задачи: 9 одинаковых парников требуют 45 м плёнки, нужно найти расход на 3 парника.

Соотношения данной задачи показаны в таблице.

Так как парники одинаковые, расход плёнки на каждый одинаков.

Находим расход на один парник: 45 : 9 = 5 м.

Для трёх парников требуется 5 · 3 = 15 м.

Выражение решения: 45 : 9 · 3 = 15.

Проверка: 15 : 3 = 5 м на один парник.

Теперь составляем условие первой обратной задачи.

Известно, что на 3 одинаковых парника ушло 15 м, требуется найти расход на 9 парников.

Первая обратная задача имеет переставленные известное и неизвестное.

Шаг 2. Сначала 15 : 3 = 5 м на один парник.

Затем 5 · 9 = 45 м на девять парников.

Выражение: 15 : 3 · 9 = 45.

Результат 45 м восстанавливает исходное данное.

Проверяем: 45 : 9 = 5 м.

Составляем условие второй обратной задачи отдельно.

Всего имеется 45 м плёнки, на 3 парника использовано 15 м, требуется найти число дополнительных парников.

Сначала определяем норму по известной паре: 15 : 3 = 5 м на парник.

Находим остаток плёнки: 45 - 15 = 30 м.

Делим остаток на расход одного парника: 30 : 5 = 6 парников.

Шаг 3. Все три действия второй обратной задачи собраны в таблице.

Проверяем расход на дополнительные парники: 6 · 5 = 30 м.

Вместе с первыми тремя парниками получится 3 + 6 = 9 парников.

На девять парников уйдёт 9 · 5 = 45 м, весь исходный запас.

Объединённое выражение: (45 - 15) : (15 : 3) = 6.

В скобках сначала находим остаток и расход на один парник.

Во всех трёх задачах сохраняется постоянная величина 5 м на парник.

Обратные задачи используют результаты данной задачи как новые известные числа.

Каждое условие сформулировано полностью, а не только заменено вычислением.

Шаг 4. Основной ответ 15 м, ответы обратных задач 45 м и 6 парников.

Единицы различаются: длина плёнки измеряется в метрах, количество парников считается в штуках.

Все решения проверяются исходным равенством 5 · 9 = 45.

При составлении первой обратной задачи число 15 становится известным общим расходом для трёх парников, а прежнее число 45 требуется получить.

Во второй обратной задаче известно сразу два расхода: 45 м было всего и 15 м уже использовали. Поэтому сначала отделяем остаток 30 м.

Норма 5 м на один парник связывает все варианты и не изменяется, так как каждый раз говорится об одинаковых парниках.

Можно решить вторую обратную задачу иначе: 45 : 5 = 9 парников всего, 15 : 5 = 3 парника уже покрыты, 9 - 3 = 6 парников осталось.

Альтернативное выражение 45 : (15 : 3) - 3 = 9 - 3 = 6 даёт тот же ответ.

Совпадение двух способов независимо подтверждает результат второй обратной задачи.

Шаг 1. Одна восьмая означает одну из восьми равных частей маршрута.

По условию одна такая часть равна 16 км.

В первом способе сначала находим весь маршрут.

Умножаем длину одной части на число частей: 16 · 8 = 128 км.

Туристы уже прошли 16 км.

Вычитаем пройденный участок: 128 - 16 = 112 км.

Выражение первого способа: 16 · 8 - 16.

Проверяем сумму: 16 + 112 = 128 км.

Шаг 2. Во втором способе считаем только оставшиеся доли.

Всего было 8 долей, одна доля пройдена.

Осталось 8 - 1 = 7 равных частей.

Каждая оставшаяся часть также имеет длину 16 км.

Умножаем 16 · 7 = 112 км.

Удобно разложить 16: (10 + 6) · 7 = 70 + 42 = 112.

Выражение второго способа: 16 · (8 - 1).

Оба способа дали одинаковый результат.

Шаг 3. Первый способ находит целое и вычитает известную часть.

Второй способ сразу находит число непройденных частей.

Семь восьмых маршрута больше одной восьмой, поэтому 112 км больше 16 км.

Проверяем отношение: 112 : 16 = 7 частей.

Вместе 7 + 1 = 8 частей, как в условии.

Ответ относится к оставшемуся пути, а не к полной длине маршрута.

Оставшийся путь можно также найти умножением всей длины 128 км на долю 7/8: сначала 128 : 8 = 16, затем 16 · 7 = 112 км.

Этот вариант объединяет оба предыдущих рассуждения и ещё раз подтверждает ответ.

Шаг 1. Внутри первых скобок: 50 106 - 49 038 = 1 068.

Вычитание выполняем с последовательными займами справа налево.

Проверка: 49 038 + 1 068 = 50 106.

Затем 60 000 - 1 068 = 58 932.

Получаем значение первого выражения 58 932.

Проверка: 58 932 + 1 068 = 60 000.

Во вторых скобках: 53 425 + 78 679 = 132 104.

При сложении показываем переносы над принимающими разрядами.

Проверка: 132 104 - 78 679 = 53 425.

Затем 480 024 - 132 104 = 347 920.

Значение второго выражения равно 347 920.

Проверка: 347 920 + 132 104 = 480 024.

В третьих скобках: 75 372 - 56 483 = 18 889.

Разность в скобках вычислена первой.

Проверка: 18 889 + 56 483 = 75 372.

Затем 101 010 + 18 889 = 119 899.

Значение третьего выражения равно 119 899.

Проверка: 119 899 - 18 889 = 101 010.

Шаг 2. Полное действие: 217 · 4 = 868.

Единицы: 7 · 4 = 28, пишем 8 и переносим 2 десятка.

Десятки: 1 · 4 + 2 = 6; сотни: 2 · 4 = 8.

Полное действие: 352 · 2 = 704.

Единицы: 2 · 2 = 4; десятки: 5 · 2 = 10, пишем 0 и переносим 1 сотню.

Сотни: 3 · 2 + 1 = 7.

Полное действие: 198 · 7 = 1 386.

Единицы: 8 · 7 = 56; десятки: 9 · 7 + 5 = 68.

Сотни: 1 · 7 + 6 = 13, получаем 1 386.

Полное действие: 636 : 6 = 106.

Первое неполное делимое 6 сотен даёт 1 сотню в частном.

Три десятка меньше 6 десятков, поэтому в частном пишем 0; 36 единиц : 6 = 6.

Шаг 3. Полное действие: 736 : 4 = 184.

Семь сотен : 4 = 1 сотня, остаток 3 сотни.

33 десятка : 4 = 8 десятков, остаток 1 десяток; 16 : 4 = 4.

Полное действие: 784 : 8 = 98.

Первое неполное делимое 78 десятков, поэтому частное двузначное.

78 : 8 = 9, остаток 6; 64 : 8 = 8.

Проверяем умножения делением: 868 : 4 = 217; 704 : 2 = 352; 1386 : 7 = 198.

Проверяем деления умножением: 106 · 6 = 636; 184 · 4 = 736; 98 · 8 = 784.

Все три деления выполнены без остатка.

В трёх выражениях со скобками сначала полностью вычисляется значение внутри скобок, только после этого выполняется внешнее действие.

Для первого выражения проверка всей записи: 60 000 - 58 932 = 1 068, что совпадает с разностью в скобках.

Для второго выражения: 480 024 - 347 920 = 132 104, что совпадает с суммой 53 425 и 78 679.

Для третьего выражения: 119 899 - 101 010 = 18 889, что совпадает с разностью 75 372 и 56 483.

Оценка произведения 198 · 7: число 198 близко к 200, поэтому результат должен быть немного меньше 1400; число 1386 подходит.

Оценка деления 784 : 8: восемь сотен разделить на восемь примерно равно ста, поэтому частное 98 правдоподобно.

Ноль в середине частного 106 обязателен, потому что три десятка нельзя разделить на 6 с получением полного десятка.

Все девять итогов с проверками:
60 000 - (50 106 - 49 038) = 60 000 - 1 068 = 58 932;
480 024 - (53 425 + 78 679) = 480 024 - 132 104 = 347 920;
101 010 + (75 372 - 56 483) = 101 010 + 18 889 = 119 899;
217 · 4 = 868;
352 · 2 = 704;
198 · 7 = 1 386;
636 : 6 = 106;
736 : 4 = 184;
784 : 8 = 98.

Обратные проверки: 868 : 4 = 217; 704 : 2 = 352; 1 386 : 7 = 198; 106 · 6 = 636; 184 · 4 = 736; 98 · 8 = 784.

Для выражений со скобками проверки восстанавливают их внутренние значения: 60 000 - 58 932 = 1 068; 480 024 - 347 920 = 132 104; 119 899 - 101 010 = 18 889.

Шаг 1. По клеткам определяем стороны будущего прямоугольника: 3 см и 5 см.

Проводим недостающие верхнюю и правую стороны.

Исходная наклонная сторона становится диагональю прямоугольника.

Диагональ разделяет прямоугольник на два треугольника.

Чертёж сохраняет сетку, размеры и положение диагонали.

Площадь прямоугольника равна произведению сторон.

Вычисляем 3 · 5 = 15 см².

Два треугольника совпадают при наложении, поэтому их площади равны.

Шаг 2. Каждый треугольник занимает половину прямоугольника.

Для ответа в квадратных миллиметрах переводим площадь.

Один квадратный сантиметр равен 100 мм².

Следовательно, 15 см² = 15 · 100 = 1500 мм².

Делим пополам: 1500 : 2 = 750 мм².

Проверяем: 750 + 750 = 1500 мм².

Перевод площади выполняется с множителем 100, а не 10.

Шаг 3. Площадь всего прямоугольника и двух его частей согласованы.

Ответ для прямоугольника дан в см², для треугольников - в мм².

Чертёж является геометрической схемой, а вычисления записаны отдельно.

По сетке сторона 3 см занимает 6 клеток по 5 мм, а сторона 5 см - 10 таких клеток.

Во всём прямоугольнике 6 · 10 = 60 маленьких клеток; каждый треугольник занимает половину, то есть 30 клеток.

Площадь одной клетки 5 · 5 = 25 мм², поэтому 30 · 25 = 750 мм².

Подсчёт по клеткам даёт тот же результат, что и деление площади прямоугольника пополам.

Шаг 1. В каждом выражении сначала выполняем действие в скобках, а затем умножение.

(14 + 7) · 3. В скобках находится сумма. Удобно дополнить 14 до круглого числа: 7 = 6 + 1. Тогда 14 + 7 = 14 + (6 + 1) = (14 + 6) + 1 = 20 + 1 = 21. После этого умножаем: 21 · 3 = 63. Произведение означает сумму трёх одинаковых слагаемых: 21 + 21 + 21 = 63.

8 · (100 - 99). Сначала находим разность в скобках. Можно представить 99 как 90 + 9: 100 - 99 = (100 - 90) - 9 = 10 - 9 = 1. Затем используем правило умножения на единицу: 8 · 1 = 8.

Скобки изменяют обычный порядок действий: их содержимое вычисляется раньше умножения. Поэтому нельзя сначала умножать 7 · 3 или 8 · 100.

Шаг 2. Записываем вычисления по действиям.

1) 14 + 7 = 21;
2) 21 · 3 = 63.

(14 + 7) · 3 = 63.

1) 100 - 99 = 1;
2) 8 · 1 = 8.

8 · (100 - 99) = 8.

Проверка: 63 = 21 + 21 + 21, а множитель 1 сохраняет число 8. Ответы в порядке выражений - 63 и 8.

Дополнительная проверка первого выражения: (14 + 7) · 3 = 14 · 3 + 7 · 3 = 42 + 21 = 63. Для второго выражения 100 и 99 являются соседними числами, поэтому их разность точно равна 1.