ГДЗ Математика 4 класс Моро учебник 1 часть — страница 73

Шаг 1. Для численного ответа дополняем условие вместимостью одного стакана.

Берём обычный учебный объём стакана 200 мл.

Один литр содержит 1000 мл.

Находим число стаканов в литре: 1000 : 200 = 5 стаканов.

Полученное дополнение записываем в условие: 1 л = 5 стаканов.

Шаг 2. Один стакан наполняется за 12 минут.

В одном часе 60 минут.

Число двенадцатиминутных промежутков в часе находим делением 60 : 12.

Получаем 5 промежутков, значит, за час наполнятся 5 стаканов.

Шаг 3. Пять стаканов по принятому дополнению составляют ровно 1 литр.

Проверяем в миллилитрах: 5 · 200 = 1000 мл = 1 л.

В одних сутках 24 часа.

Каждый час теряется по одному литру, поэтому за сутки 1 · 24 = 24 л.

Шаг 4. Расчёт для часа и суток собран в таблице.

Можно считать через стаканы: за сутки наполнится 5 · 24 = 120 стаканов.

Переводим их в литры: 120 : 5 = 24 л.

Два способа дали одинаковый суточный результат.

Шаг 5. Данные о двух каплях в секунду объясняют непрерывную утечку, но для расчёта достаточно времени наполнения стакана.

Если фактический объём стакана иной, ответ изменится, поэтому принятое дополнение обязательно указывается.

Единицы согласованы: минуты используются для часа, часы для суток, стаканы переводятся в литры.

Ответы записываем отдельно для двух вопросов: сначала за час, затем за сутки.

Шаг 1. Всё картофельное поле принимаем за целое.

Одна пятая означает одну из пяти равных частей целого.

По условию площадь одной такой части равна 200 м².

Значит, всё поле состоит из пяти участков по 200 м².

Чтобы найти площадь целого, площадь одной доли умножаем на число долей.

Вычисляем 200 · 5 = 1000 м².

Шаг 2. Можно представить вычисление суммой: 200 + 200 + 200 + 200 + 200 = 1000.

Схема показывает все пять равных частей поля.

Проверяем найденное целое делением: 1000 : 5 = 200 м².

Результат проверки совпал с площадью одной пятой из условия.

Искомая площадь должна быть больше 200 м², потому что дана только одна из пяти частей.

Шаг 3. Число 5 показывает, на сколько равных долей разделено поле.

Число 200 показывает площадь одной доли, а не четырёх оставшихся долей.

Площадь остальных четырёх частей равна 200 · 4 = 800 м².

Дополнительная проверка: 200 + 800 = 1000 м².

Единица площади при умножении сохраняется: ответ выражаем в квадратных метрах.

Шаг 1. В единицах площади перевод выполняется сразу по длине и по ширине квадрата.

Один сантиметр равен 10 миллиметрам.

Квадрат со стороной 1 см имеет стороны по 10 мм.

Поэтому 1 см² = 10 · 10 = 100 мм².

Один дециметр равен 10 сантиметрам.

Следовательно, 1 дм² = 10 · 10 = 100 см².

Один метр равен 10 дециметрам.

Следовательно, 1 м² = 10 · 10 = 100 дм².

Один километр равен 1000 метрам.

Шаг 2. Квадрат со стороной 1 км имеет длину и ширину по 1000 м.

Его площадь равна 1000 · 1000 = 1 000 000 м².

Все пропуски заполнены в исходном порядке.

Множитель 100 появляется там, где соседние единицы длины отличаются в 10 раз.

Нельзя записывать 1 см² = 10 мм²: такой перевод учитывает только одно измерение.

Для квадратного километра множитель равен миллиону, потому что 1000 возводится в квадрат.

Проверяем обратным переводом: 100 мм² : 100 = 1 см².

Аналогично 1 000 000 м² : 1 000 000 = 1 км².

В таблицу вписываем числа 100, 100, 100 и 1 000 000.

Шаг 1. В составных величинах сначала приводим обе записи к одной меньшей единице.

Километры переводим в метры по правилу 1 км = 1000 м.

Тонны переводим в килограммы по правилу 1 т = 1000 кг.

Часы переводим в минуты по правилу 1 ч = 60 мин.

После перевода записываем числа разряд под разрядом и выполняем действие справа налево.

Полное действие: 45 км 530 м + 37 км 470 м = 83 км. Перевод: 45 530 м + 37 470 м = 83 000 м.

В единицах метров получаем 0 единиц, 0 десятков и 0 сотен после переносов.

В разряд тысяч переходит дополнительная единица; сумма равна 83 000 м.

Переводим обратно: 83 000 м = 83 км.

Полное действие: 24 км 040 м - 9 км 008 м = 15 км 032 м. Перевод: 24 040 м - 9 008 м = 15 032 м.

В единицах вычитаем 8 из 10 после займа и записываем 2.

После последовательного займа через нулевые разряды получаем 3 десятка и 0 сотен.

Разность равна 15 032 м, то есть 15 км 032 м.

Шаг 2. Полное действие: 32 т 820 кг - 8 т 950 кг = 23 т 870 кг. Перевод: 32 820 кг - 8 950 кг = 23 870 кг.

Для вычитания 950 кг из 820 кг занимаем одну тонну, то есть 1000 кг.

Получаем 31 т 1820 кг; 1820 - 950 = 870 кг.

Оставшиеся тонны: 31 - 8 = 23 т, поэтому ответ 23 т 870 кг.

Полное действие: 3 ч 15 мин - 45 мин = 2 ч 30 мин. Перевод: 195 мин - 45 мин = 150 мин.

Три часа содержат 3 · 60 = 180 минут, вместе с 15 минутами это 195 минут.

Вычитаем 45 минут и получаем 150 минут.

Сто пятьдесят минут содержат 2 полных часа и ещё 30 минут.

Проверяем первое действие: 83 000 - 37 470 = 45 530 м.

Проверяем второе: 15 032 + 9 008 = 24 040 м.

Проверяем третье: 23 870 + 8 950 = 32 820 кг.

Проверяем четвёртое: 150 + 45 = 195 мин.

Нули в записи 9 км 008 м и 24 км 040 м сохраняем, чтобы не сместить разряды.

После вычислений ответы возвращаем к составным единицам, как в условии.

При вычитании тонн 1 т заменяем на 1 000 кг, а при вычитании времени 1 ч заменяем на 60 мин.

Шаг 1. Переводим обе стороны прямоугольника в миллиметры.

Один сантиметр равен 10 мм, поэтому 3 см = 30 мм.

Один сантиметр и 5 мм равны 10 + 5 = 15 мм.

Получаем прямоугольник длиной 30 мм и шириной 15 мм.

Два одинаковых квадрата соединены общей стороной.

Шаг 2. Ширина прямоугольника 15 мм является стороной каждого квадрата.

Длина 30 мм равна двум сторонам квадрата: 15 + 15 = 30 мм.

На чертеже видны два квадрата и общая сторона.

Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длины и ширины.

Шаг 3. Складываем стороны: 30 + 15 = 45 мм.

Удваиваем: 45 · 2 = 90 мм.

То же можно проверить сложением четырёх сторон: 30 + 15 + 30 + 15 = 90 мм.

Периметр квадрата равен произведению длины стороны на 4.

Шаг 4. Вычисляем 15 · 4 = 60 мм.

Оба квадрата одинаковы, поэтому их периметры равны.

Переводим результаты в сантиметры для проверки: 90 мм = 9 см, 60 мм = 6 см.

Общая внутренняя сторона квадратов не входит во внешний периметр прямоугольника.

Шаг 5. Если сложить периметры двух квадратов, получится 120 мм, но общая сторона длиной 15 мм посчитана дважды.

Вычитаем её два раза: 120 - 15 - 15 = 90 мм.

Этот дополнительный способ подтверждает периметр прямоугольника.

В ответе сначала указан периметр прямоугольника, затем периметр каждого квадрата.

Шаг 1. Первая фигура разделена на 9 одинаковых квадратных частей.

Одна девятая - это одна из этих девяти частей.

Закрашиваем четыре части, поэтому закрашенная доля фигуры равна 4/9.

Каждая маленькая клетка имеет площадь 1 см².

Сторона всей первой фигуры равна 3 см.

Шаг 2. Площадь всей фигуры: 3 · 3 = 9 см².

Четыре закрашенные клетки занимают 4 · 1 = 4 см².

Незакрашенную площадь находим вычитанием 9 - 4 = 5 см².

Незакрашенными остались пять девятых всей фигуры.

На рисунке соблюдено нужное число закрашенных долей обеих фигур.

Шаг 3. Во второй фигуре всего 16 равных частей.

Закрашиваем семь из них, то есть 7/16 фигуры.

Незакрашенными во второй фигуре остаются 16 - 7 = 9 частей, хотя их площадь в вопросе находить не требуется.

Проверяем первую фигуру: 4 см² + 5 см² = 9 см².

Шаг 4. Сумма закрашенной и незакрашенной площадей совпала с площадью целого.

Для правильного изображения доли должны быть равными по площади.

Расположение выбранных клеток может быть другим, но их количество и общая площадь останутся теми же.

Ответ относится только к незакрашенной части фигуры 1.

Шаг 1. Рассматриваем общий пример сложения: a + b = c.

Число a называют первым слагаемым.

Число b называют вторым слагаемым.

Число c и выражение a + b называют суммой.

Слагаемые обозначают части, которые объединяют в целое.

Сумма обозначает результат сложения этих частей.

Например, в равенстве 7 + 5 = 12 числа 7 и 5 - слагаемые, число 12 - значение суммы.

Само выражение 7 + 5 также называется суммой.

Теперь рассматриваем вычитание: a - b = c.

Число a называют уменьшаемым, потому что его уменьшают.

Число b называют вычитаемым, потому что его вычитают.

Шаг 2. Число c и выражение a - b называют разностью.

Например, в равенстве 12 - 5 = 7 число 12 - уменьшаемое, 5 - вычитаемое, 7 - значение разности.

Выражение 12 - 5 называется разностью.

Названия компонентов помогают выбирать правило поиска неизвестного числа.

Слагаемых может быть больше двух, но в начальной записи отдельно называют первое и второе слагаемые.

При вычитании менять уменьшаемое и вычитаемое местами нельзя: действие обычно даст другой результат.

Названия относятся не только к небольшим натуральным числам: в равенстве 240 + 360 = 600 компоненты называются точно так же.

Если результат ещё не вычислен, запись 240 + 360 уже является суммой, а после вычисления число 600 называют значением этой суммы.

Аналогично запись 600 - 240 является разностью, а число 360 является значением разности.

Различение выражения и его значения помогает точно прочитать любое числовое равенство.

Шаг 1. Переместительное свойство разрешает переставлять слагаемые местами.

От такой перестановки значение суммы не изменяется.

Буквенная запись: a + b = b + a.

Пример: 8 + 27 = 27 + 8 = 35.

Это свойство удобно, когда меньшее число проще прибавить к большему.

Сочетательное свойство разрешает по-разному объединять соседние слагаемые.

Буквенная запись: (a + b) + c = a + (b + c).

Пример: (25 + 17) + 3 = 25 + (17 + 3) = 45.

Шаг 2. Группировка 17 + 3 = 20 делает вычисление удобнее.

Переместительное и сочетательное свойства вместе позволяют складывать несколько чисел в удобном порядке.

Например, 18 + 32 + 25 + 75 = (18 + 32) + (25 + 75) = 50 + 100 = 150.

Свойство нуля означает, что прибавление нуля не изменяет число.

Буквенная запись: a + 0 = a и 0 + a = a.

Пример: 46 + 0 = 46.

Ноль можно считать отсутствующей добавляемой частью.

Свойства применяются к значению суммы, но не разрешают менять знаки действий.

Шаг 3. При использовании скобок порядок записи может измениться, а состав слагаемых и итог остаются прежними.

Каждое приведённое равенство верно при любом допустимом значении букв.

Для четырёх и более слагаемых свойства можно применять несколько раз, каждый раз сохраняя тот же набор чисел.

Например, 46 + 19 + 54 + 81 удобно переставить как (46 + 54) + (19 + 81) = 100 + 100 = 200.

Проверка обычным порядком даёт 46 + 19 = 65, 65 + 54 = 119, 119 + 81 = 200.

Совпадение подтверждает, что перестановка и группировка не изменили сумму.

Прибавление нуля можно сочетать с другими свойствами: 0 + 27 + 13 = 27 + 13 = 40.

Эти правила позволяют выбрать удобный способ вычисления, но каждое исходное слагаемое должно быть учтено ровно один раз.

Шаг 1. Записываем сложение буквами: a + b = c.

Здесь a и b - слагаемые, c - значение суммы.

Если из c вычесть a, получится b: c - a = b.

Если из c вычесть b, получится a: c - b = a.

Пример: 14 + 9 = 23, поэтому 23 - 14 = 9 и 23 - 9 = 14.

Такое обратное действие используют для проверки сложения.

Шаг 2. Записываем вычитание буквами: a - b = c.

Здесь a - уменьшаемое, b - вычитаемое, c - значение разности.

Складываем вычитаемое и разность: b + c = a.

Пример: 31 - 12 = 19, поэтому 12 + 19 = 31.

Значит, к вычитаемому прибавляют разность и получают уменьшаемое.

Теперь из уменьшаемого вычитаем разность: a - c = b.

Шаг 3. В том же примере 31 - 19 = 12.

Значит, из уменьшаемого вычитают разность и получают вычитаемое.

Обе зависимости возвращают один из исходных компонентов действия.

Проверка должна восстановить точное число из первоначального равенства.

Эти правила справедливы для любых чисел, при которых записанные действия определены.

Три ответа следуют из связи частей и целого, а не из запоминания отдельных примеров.

Шаг 1. Умножение и деление относятся к действиям второй ступени.

Сложение и вычитание относятся к действиям первой ступени.

В выражении без скобок сначала выполняют все действия второй ступени.

Умножение и деление одинаково важны, поэтому между ними двигаются слева направо.

После этого выполняют сложение и вычитание, также слева направо.

Пример: 40 - 18 : 3 · 2 + 5.

Сначала 18 : 3 = 6, затем 6 · 2 = 12.

После этого 40 - 12 + 5 = 28 + 5 = 33.

Если выражение содержит только сложение и вычитание, действия выполняют слева направо.

Шаг 2. Например, 20 - 8 + 3 = 12 + 3 = 15.

Нельзя сначала складывать 8 + 3, потому что скобок вокруг этой суммы нет.

В выражении со скобками сначала вычисляют содержимое скобок.

После раскрытия числового значения скобок применяют обычный порядок действий.

Пример: (40 - 18) : 2 + 5.

Сначала 40 - 18 = 22, затем 22 : 2 = 11, затем 11 + 5 = 16.

Если скобок несколько, сначала вычисляют каждую внутреннюю часть согласно её собственному порядку.

Скобки могут изменить результат, потому что делают заключённое действие первоочередным.

Запись промежуточных результатов помогает не переставить действия случайно.

Шаг 1. Пусть выполнено сложение a + b = c.

Чтобы проверить результат, из значения суммы c вычитаем одно слагаемое.

Если c - a = b, первое обратное равенство верно.

Можно выполнить и вторую проверку: c - b = a.

Например, 47 + 28 = 75.

Проверяем: 75 - 47 = 28.

Дополнительно: 75 - 28 = 47.

Оба исходных слагаемых восстановлены, значит, сложение выполнено верно.

Теперь пусть выполнено вычитание a - b = c.

Шаг 2. Первый способ проверки: к разности c прибавить вычитаемое b.

Если c + b = a, получено исходное уменьшаемое.

Пример: 83 - 29 = 54; проверка 54 + 29 = 83.

Второй способ: из уменьшаемого a вычесть разность c.

Должно получиться вычитаемое b.

Для примера: 83 - 54 = 29.

Сложение и вычитание являются взаимно обратными действиями.

В проверке используют исходные компоненты и найденный результат, а не просто повторяют то же вычисление.

Совпадение обратного результата с исходным числом подтверждает правильность действия.

Шаг 1. Ноль показывает отсутствие добавляемого количества.

Если к числу прибавить ноль, число не изменится.

Буквенная запись: a + 0 = a.

По переместительному свойству верно и 0 + a = a.

Например, 36 + 0 = 36 и 0 + 36 = 36.

Значит, если одно слагаемое равно нулю, сумма равна другому слагаемому.

Нулевое слагаемое не увеличивает и не уменьшает результат.

При вычитании нуля из числа ничего не убирают.

Шаг 2. Поэтому a - 0 = a.

Например, 84 - 0 = 84.

В этом равенстве уменьшаемое и значение разности совпадают.

Проверка сложением: 84 + 0 = 84.

Правило не означает, что 0 - a всегда равно a.

Например, в изучаемых натуральных числах 0 - 5 выполнить нельзя, а 5 - 0 = 5.

Важно учитывать место нуля: в вычитании компоненты нельзя переставлять.

Оба правила выражают сохранение числа, когда к нему ничего не добавляют или из него ничего не вычитают.