Угадай задуманное число.
1) Задумай любое однозначное число, кроме нуля. Умножь его на 9. Результат раздели на задуманное число. Объясни, почему получилось 9.
2) Задумай любое однозначное число, кроме нуля. Увеличь его в 5 раз. Вычти задуманное число. Разность раздели на задуманное число и прибавь 96. Объясни, почему всегда получается 100.
Пусть задуманное число равно x, где x ≠ 0.
1) x · 9 : x = 9.
2) (x · 5 - x) : x + 96 = 4 · x : x + 96 = 4 + 96 = 100.
Пояснения
Шаг 1. Буквой x обозначаем любое допустимое однозначное число от 1 до 9.
Ноль исключён, потому что в обоих заданиях результат требуется разделить на задуманное число, а на ноль делить нельзя.
В первой последовательности число x сначала умножают на 9.
Получается произведение x · 9.
Затем это произведение делят на исходное число x.
Множитель x сокращается: (x · 9) : x = 9.
Шаг 2. Например, при x = 4 получаем 4 · 9 = 36 и 36 : 4 = 9.
При x = 7 получаем 7 · 9 = 63 и 63 : 7 = 9.
Поэтому первое число всегда равно 9 и не зависит от выбранного x.
Во второй последовательности увеличение в 5 раз даёт 5 · x.
Из пяти одинаковых слагаемых x вычитаем одно такое слагаемое.
Остаются четыре одинаковых слагаемых: 5 · x - x = 4 · x.
Шаг 3. Делим результат на задуманное число: 4 · x : x = 4.
Теперь прибавляем 96: 4 + 96 = 100.
Например, при x = 3: 3 · 5 = 15, 15 - 3 = 12, 12 : 3 = 4, 4 + 96 = 100.
При x = 8: 8 · 5 = 40, 40 - 8 = 32, 32 : 8 = 4, 4 + 96 = 100.
Выбор однозначного числа меняет промежуточные произведение и разность, но после деления снова получается 4.
Постоянный результат объясняется общим множителем x, а не случайным совпадением отдельных примеров.
Шаг 4. Первая цепочка оставляет множитель 9, вторая оставляет множитель 4 и дополняет его до 100 числом 96.
Обе закономерности доказаны буквенными выражениями и проверены конкретными значениями.
Равенство x · 9 : x = 9 разрешено именно при x ≠ 0, что было оговорено в условии.
Во второй цепочке деление 4 · x : x также возвращает число 4 для каждого x от 1 до 9.
Следовательно, заранее угадывается не задуманное число, а неизменный итог выполненной последовательности действий.
1) Вырежи квадрат со стороной 2 см и разрежь его на 3 треугольника, из которых можно составить показанные фигуры.
2) Какой будет площадь каждой фигуры?
3) Назови ещё одно свойство, общее для всех фигур.
1) Квадрат разрезаем по диагонали, а один из полученных треугольников делим ещё на два треугольника.
2) 2 · 2 = 4 см2.
3) Все фигуры являются многоугольниками.
Ответ: площадь каждой фигуры равна 4 см2.
Пояснения
Шаг 1. Начинаем с квадрата, у которого каждая сторона равна 2 см.
Проводим диагональ от одной вершины квадрата к противоположной.
Диагональ делит квадрат на два больших треугольника.
Один из больших треугольников дополнительно делим от вершины к середине диагонали.
В результате получаются три треугольные детали: одна крупная и две меньшие.
Шаг 2. Именно этот неизменный набор из трёх деталей используется во всех показанных сборках.
Схема показывает линии разреза и нумерацию трёх частей.
При перестановке частей их собственные площади не меняются.
Детали в каждой фигуре не накладываются друг на друга и не оставляют пропусков.
Поэтому площадь собранной фигуры равна площади исходного квадрата.
Шаг 3. Площадь квадрата вычисляется произведением длины и ширины.
Обе стороны равны 2 см, значит, S = 2 · 2 = 4 см2.
Каждая из пяти фигур имеет площадь 4 см2, хотя их внешний вид различается.
Равная площадь не означает одинаковый периметр: расположение внешних сторон у фигур разное.
Общее геометрическое свойство состоит в том, что границы всех фигур образованы отрезками.
Шаг 4. Следовательно, каждая составленная фигура является многоугольником.
Ещё одно общее свойство: все они сложены из тех же трёх треугольников.
Первый вопрос выполнен схемой разреза, второй числовым расчётом, третий названием вида фигур.
Единица площади записана как квадратный сантиметр, а не просто сантиметр.
Площадь 4 см2 сохраняется при любом новом расположении тех же деталей.
Расставь знаки арифметических действий и, если нужно, скобки так, чтобы равенства стали верными:
8 8 8 8 = 7;
8 8 8 8 = 9;
8 8 8 8 = 8;
8 8 8 8 = 10.
(8 1· 8 2- 8) 3: 8 = 7;
(8 1· 8 2+ 8) 3: 8 = 9;
8 2· (8 1- 8) 3+ 8 = 8;
(8 1+ 8) 2: 8 3+ 8 = 10.
Пояснения
Шаг 1. В каждой строке используем ровно четыре восьмёрки в исходном порядке.
Скобки позволяют изменить обычную последовательность действий.
Для получения 7 сначала создаём число 56.
Умножаем первые две восьмёрки: 8 · 8 = 64.
Вычитаем третью восьмёрку: 64 - 8 = 56.
Делим на последнюю восьмёрку: 56 : 8 = 7.
Поэтому первая запись имеет вид (8 · 8 - 8) : 8 = 7.
Для получения 9 также начинаем с произведения 64.
Прибавляем третью восьмёрку: 64 + 8 = 72.
Делим 72 на 8 и получаем 9.
Вторая запись: (8 · 8 + 8) : 8 = 9.
Для получения 8 удобно создать ноль внутри скобок.
Вычисляем 8 - 8 = 0.
Шаг 2. Умножаем первую восьмёрку на ноль: 8 · 0 = 0.
Прибавляем последнюю восьмёрку: 0 + 8 = 8.
Третья запись: 8 · (8 - 8) + 8 = 8.
Для получения 10 сначала складываем две первые восьмёрки.
Получаем 8 + 8 = 16, затем 16 : 8 = 2.
Прибавляем последнюю восьмёрку: 2 + 8 = 10.
Четвёртая запись: (8 + 8) : 8 + 8 = 10.
Синие номера стоят над знаками и показывают фактический порядок действий.
Проверка каждой строки даёт правую часть соответственно 7, 9, 8 и 10.
Скобки открываются и закрываются так, чтобы каждое выражение было однозначным.
Все четыре равенства стали верными.