ГДЗ Математика 4 класс Моро учебник 1 часть — страница 66

Шаг 1. Обозначим общую массу всех трёх плодов как целое: 16 кг.

Арбуз и дыня вместе весят 8 кг.

Если из массы всех плодов убрать массу арбуза и дыни, останется только тыква.

Вычисляем 16 - 8 = 8 кг. Это масса тыквы.

Шаг 2. Тыква и арбуз вместе весят 13 кг.

Вычитаем найденную массу тыквы: 13 - 8 = 5 кг. Это масса арбуза.

Арбуз и дыня вместе весят 8 кг.

Вычитаем массу арбуза: 8 - 5 = 3 кг. Это масса дыни.

Шаг 3. Можно было сначала найти дыню: 16 - 13 = 3 кг, затем арбуз: 8 - 3 = 5 кг.

Оба порядка вычислений приводят к тем же трём массам.

Проверяем первую пару: 8 + 5 = 13 кг.

Проверяем вторую пару: 5 + 3 = 8 кг.

Проверяем общую массу: 8 + 5 + 3 = 16 кг.

Шаг 4. Все три условия одновременно выполнены.

В ответе сохраняем порядок, указанный в вопросе, и называем каждый плод отдельно.

Схема помогает увидеть, какая часть общей массы остаётся после вычитания известной пары.

Шаг 5. Нельзя складывать 13 и 8, потому что масса арбуза тогда была бы учтена дважды.

Единица массы во всех действиях и ответе - килограмм.

Первое действие можно прочитать так: масса тыквы равна разности общей массы трёх плодов и совместной массы арбуза с дыней.

Во втором действии масса арбуза получается как разность массы пары «тыква и арбуз» и уже известной массы тыквы.

Шаг 6. В третьем действии масса дыни получается как разность массы пары «арбуз и дыня» и массы арбуза.

Если начать с дыни, получим 16 - 13 = 3 кг; затем 8 - 3 = 5 кг и 13 - 5 = 8 кг. Это независимая проверка.

Найденные массы не только дают общую сумму 16 кг, но и отдельно восстанавливают обе данные пары 13 кг и 8 кг.

Шаг 1. Заполняем итоговую таблицу найденными значениями.

Из общего числа вычитаем учеников первой и второй школ: 1 945 - 1 225 = 720.

Остаток относится к третьей школе.

Из общего числа вычитаем учеников второй и третьей школ: 1 945 - 1 300 = 645.

Шаг 2. Остаток относится к первой школе.

Во второй и третьей школах вместе 1 300 учеников, из них 720 учатся в третьей.

Находим вторую школу: 1 300 - 720 = 580 учеников.

Можно проверить вторую школу другой парой: 1 225 - 645 = 580.

Проверяем первую и вторую школы: 645 + 580 = 1 225.

Проверяем вторую и третью школы: 580 + 720 = 1 300.

Проверяем все школы: 645 + 580 + 720 = 1 945.

Шаг 3. Каждая из трёх проверок совпадает с соответствующим числом условия.

Шаг 4. Число 720 получено для третьей школы, 645 для первой, 580 для второй; порядок промежуточных действий отличается от порядка ответа.

Запись «соответственно» связывает числа 645, 580, 720 с первой, второй и третьей школами.

Задача устроена так же, как задача о трёх плодах: из целого вычитаем известную пару.

Шаг 5. Все значения являются целыми положительными числами учеников.

Первое вычитание исключает сразу две школы, количество учеников которых известно одной суммой, и оставляет третью школу.

Второе вычитание аналогично исключает вторую и третью школы и оставляет первую.

Шаг 6. После нахождения двух крайних школ количество второй определяется любой из данных пар; оба вычисления дают 580.

Полная двойная проверка второй школы: 1 225 - 645 = 580 и 1 300 - 720 = 580.

Сумма 645 + 580 + 720 вычислена без округления и точно равна общему числу 1 945.

Шаг 1. Скобки меняют обычный порядок действий: выражение внутри них вычисляем раньше остальных действий.

В первом равенстве сначала требуется получить разность 640 - 480 = 160.

Затем 160 : 4 = 40 и 40 + 360 = 400.

Поэтому верная запись: (640 - 480) : 4 + 360 = 400.

Во втором равенстве объединяем числа 4 и 6: 4 + 6 = 10.

Получаем 120 : 10 = 12, затем 120 + 12 = 132.

Верная запись: 120 + 120 : (4 + 6) = 132.

В третьем равенстве сначала вычисляем произведение 4 · 2 = 8.

Затем 160 : 8 = 20 и 20 + 10 = 30.

Верная запись: 160 : (4 · 2) + 10 = 30.

Шаг 2. В четвёртом равенстве действие 54 : 6 = 9 остаётся первым по обычному правилу.

После этого внутри скобок получаем 60 - 9 = 51.

Последнее действие 51 : 3 = 17.

Верная запись: (60 - 54 : 6) : 3 = 17.

Синие числа над знаками показывают фактическую последовательность вычислений в каждом ответе.

Во всех четырёх случаях после расстановки скобок левая часть точно совпадает с правой.

В первом выражении без скобок деление 480 : 4 выполнялось бы раньше вычитания и нужное значение 400 не получилось бы.

Во втором и третьем выражениях скобки объединяют делитель: сначала создаём число 10 или 8, затем делим на него.

В четвёртом выражении скобки охватывают разность, но находящееся внутри деление 54 : 6 всё равно выполняется раньше вычитания.

После вычисления каждого промежуточного результата подставляем его на место соответствующей части выражения.

Подстановка скобок должна сохранять все исходные числа и приводить к значению справа от знака равенства.

Шаг 1. Составляем и решаем первое уравнение.

Разность неизвестного числа и 80 записываем как x - 80. По условию она равна сумме 360 и 140: x - 80 = 360 + 140. Вычисляем правую часть: 360 + 140 = 500, поэтому x - 80 = 500.

Слова читаем в том же порядке, в котором записываем выражение: сначала неизвестное число, затем знак вычитания и число 80. После слов «равна сумме» ставим знак равенства и записываем сумму 360 + 140. Число 500 здесь является значением правой части уравнения, но ещё не значением x.

Здесь x - неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, к разности прибавляем вычитаемое: x = 500 + 80 = 580. Проверка: 580 - 80 = 500 и 360 + 140 = 500. Левая и правая части равны, значит, корень первого уравнения - 580.

Шаг 2. Составляем и решаем второе уравнение.

Из 430 вычли задуманное число, поэтому неизвестное является вычитаемым: 430 - x. Полученный результат равен частному 640 и 8. Записываем 430 - x = 640 : 8.

Вычисляем частное: 640 : 8 = 80. Получаем уравнение 430 - x = 80. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, из уменьшаемого вычитаем разность: x = 430 - 80 = 350.

При нахождении вычитаемого нельзя складывать 430 и 80: вычитаемое должно быть меньше уменьшаемого. Используем правило a - b = c, значит b = a - c. Здесь a = 430, c = 80, поэтому b = 350.

Проверка: 430 - 350 = 80 и 640 : 8 = 80. Обе части равны, поэтому корень второго уравнения - 350.

Шаг 3. Записываем решения уравнений последовательно.

1) x - 80 = 360 + 140;
x - 80 = 500;
x = 500 + 80;
x = 580;
580 - 80 = 360 + 140;
500 = 500.

2) 430 - x = 640 : 8;
430 - x = 80;
x = 430 - 80;
x = 350;
430 - 350 = 640 : 8;
80 = 80.

В первом уравнении значение 500 является разностью, а не корнем. Поэтому правильный первый ответ - 580. Во втором уравнении неизвестное вычитаемое равно 350.

После подстановки найденных чисел оба уравнения превращаются в верные числовые равенства. В первом случае обе части равны 500, во втором - 80. Значит, посторонних корней нет, и окончательные значения неизвестного записаны верно.

Шаг 1. Весь путь 96 км принимаем за целое.

Четвёртая часть означает одну из четырёх равных частей пути.

Находим длину одной части: 96 : 4 = 24 км.

Именно 24 км мотоциклист проехал до остановки.

Оставшийся путь является разностью всего пути и пройденной части.

Шаг 2. Вычисляем 96 - 24 = 72 км.

Можно решить через оставшиеся доли: после одной четверти остаются три четверти.

Длина трёх частей равна 24 · 3 = 72 км.

Оба способа дают одинаковый ответ.

Проверяем: 24 + 72 = 96 км.

Шаг 3. Оставшийся путь больше пройденного, потому что три четверти больше одной четверти.

Решение одним выражением: 96 - 96 : 4 = 72 км.

Схема показывает одну пройденную часть и три оставшиеся части.

Ответ записываем в километрах.

Слова «проехал четвёртую часть» означают, что пройден ровно один участок из четырёх, а не четыре километра.

Шаг 4. После остановки остаются второй, третий и четвёртый участки одинаковой длины по 24 км.

Сумма оставшихся участков 24 + 24 + 24 = 72 км совпадает с произведением 24 · 3.

Отношение оставшегося пути к пройденному равно 72 : 24 = 3, что соответствует трём оставшимся четвертям.

Вычитание выполняем только после нахождения фактически пройденного расстояния.

Итог 72 км меньше всего пути 96 км и больше пройденных 24 км, поэтому он реалистичен.

Шаг 1. Один квадратный дециметр содержит 10 · 10 = 100 квадратных сантиметров.

Поэтому 2 000 см² : 100 = 20 дм².

Один час равен 60 минутам.

Три часа составляют 60 · 3 = 180 минут; добавляем ещё 10 минут и получаем 190 минут.

Один центнер равен 100 кг, поэтому 45 · 100 = 4 500 кг.

Одна тонна равна 1 000 кг, поэтому 23 · 1 000 = 23 000 кг.

Один километр равен 1 000 м, поэтому 23 · 1 000 = 23 000 м.

Одна минута равна 60 секундам.

Чтобы перевести 600 секунд в минуты, делим 600 : 60 = 10 минут.

Для площади коэффициент длины 10 применяется дважды, поэтому делим на 100, а не на 10.

Для перехода от крупных единиц массы и длины к меньшим умножаем.

Для перехода от секунд к более крупным минутам делим.

Проверка времени: 190 мин = 180 мин + 10 мин = 3 ч 10 мин.

Проверка секунд: 10 · 60 = 600 с.

Шаг 2. Во всех равенствах слева и справа записана одна и та же величина в разных единицах.

Степень 2 у сантиметров и дециметров сохраняется, поскольку переводится площадь.

При переводе 2 000 см² в дм² число уменьшается, потому что квадратный дециметр является более крупной единицей площади.

Равенство 20 · 100 = 2 000 подтверждает найденные 20 дм².

В записи 3 ч 10 мин сначала переводим только часы, затем прибавляем уже данные минуты.

Для центнеров используем соотношение 1 ц = 100 кг; две последние цифры произведения становятся нулями.

Для тонн и километров коэффициент одинаков и равен 1 000, но получаются разные величины: масса в килограммах и длина в метрах.

Двадцать три тысячи записываем как 23 000, сохраняя три нуля при умножении на 1 000.

Шестьсот секунд содержат десять групп по 60 секунд, поэтому получается целое число минут без остатка.

Проверяем обратными переводами: 4 500 : 100 = 45 ц; 23 000 : 1 000 = 23 т; 23 000 : 1 000 = 23 км.

Нельзя пользоваться соотношением 1 год = 365 суток: оно не относится ни к одному примеру этого задания и не влияет на вычисления.

Шаг 1. В первом выражении два сложения выполняем слева направо.

Полное первое действие: 32 546 + 7 008 = 39 554.

Складываем единицы, десятки, сотни, тысячи и десятки тысяч, учитывая переносы.

Полное второе действие: 39 554 + 82 309 = 121 863.

Получаем 32 546 + 7 008 + 82 309 = 121 863.

Во втором выражении умножение выполняется раньше сложения и вычитания.

Полное первое действие: 172 · 3 = 516.

Единицы: 2 · 3 = 6; десятки: 7 · 3 = 21; сотни: 1 · 3 + 2 = 5.

Полное второе действие: 1 200 - 516 = 684.

При вычитании занимаем через нулевые разряды и получаем 684.

Шаг 2. Полное третье действие: 684 + 308 = 992.

Проверяем: 516 + 684 = 1 200, затем 684 + 308 = 992.

Синие номера над знаками показывают порядок действий.

В каждом действии цифры располагаем по разрядам, чтобы переносы и заимствования учитывались в нужных местах.

Итоговые ответы: 121 863 и 992.

Для первой суммы можно выполнить проверку группировкой: 7 008 + 82 309 = 89 317, затем 89 317 + 32 546 = 121 863.

Совпадение результата при другой группировке подтверждает обе письменные суммы.

В выражении с произведением нельзя сначала вычитать 172 из 1 200, потому что умножение имеет более высокий порядок.

После получения 516 действия вычитания и сложения имеют одинаковую ступень и выполняются слева направо.

Промежуточное число 684 сохраняем полностью перед прибавлением 308.

Оценка: 1 200 - примерно 500 + примерно 300 даёт примерно 1 000; точный ответ 992 подходит.

Переносы в сложении отмечены малыми цифрами над принимающими разрядами, а заимствования в вычитании показаны над изменяемыми цифрами.

Заключительная проверка второго выражения: 992 - 308 = 684, а 684 + 516 = 1 200. Оба промежуточных результата восстановлены.

Полные цепочки вычислений:
32 546 + 7 008 + 82 309 = 39 554 + 82 309 = 121 863;
1 200 - 172 · 3 + 308 = 1 200 - 516 + 308 = 684 + 308 = 992.

Сначала выполняется умножение, затем сложение и вычитание слева направо.

Шаг 1. В первой сумме складываем числа последовательно.

Полное первое действие: 20 782 + 5 203 = 25 985.

Складываем числа по разрядам и получаем промежуточную сумму 25 985.

Полное второе действие: 25 985 + 63 870 = 89 855.

Переносы из единиц, десятков и сотен учитываем в следующих разрядах.

Во втором выражении первым выполняем деление 498 : 6.

Полное первое действие: 498 : 6 = 83.

Первое неполное делимое 49: 49 : 6 = 8, остаток 1; сносим 8 и получаем 18; 18 : 6 = 3.

Полное второе действие: 4 508 + 83 = 4 591.

После деления выполняем сложение, потому что сложение и вычитание идут слева направо.

Полное третье действие: 4 591 - 892 = 3 699.

Проверка вычитания: 3 699 + 892 = 4 591.

Синие номера над знаками соответствуют трём действиям.

Итоговые значения: 89 855 и 3 699.

Первую сумму можно проверить перестановкой слагаемых, поскольку от их порядка сумма не меняется.

В делении 498 : 6 первое неполное делимое равно 49 десяткам, поэтому частное имеет две цифры.

После 49 - 48 остаётся 1 десяток; сносим 8 единиц и получаем 18 единиц.

Остаток после 18 : 6 равен нулю, поэтому частное 83 найдено точно.

В выражении 4 508 + 83 - 892 нельзя вычитать 892 раньше сложения: действия одной ступени выполняются слева направо.

Оценка второй строки: 4 500 + около 80 - около 900 даёт около 3 700; ответ 3 699 согласуется с оценкой.

Все промежуточные действия сохранены, поэтому итог можно проверить независимо от исходной строки.

Обе строки раскрываются в полные цепочки:
20 782 + 5 203 + 63 870 = 25 985 + 63 870 = 89 855;
4 508 + 498 : 6 - 892 = 4 508 + 83 - 892 = 4 591 - 892 = 3 699.

Проверка первой строки другой группировкой: 5 203 + 63 870 = 69 073; 69 073 + 20 782 = 89 855.

Проверки второй строки:
83 · 6 = 498;
3 699 + 892 = 4 591;
4 591 - 83 = 4 508.

Деление выполняется раньше сложения и вычитания, после него оставшиеся действия выполняются слева направо.

Окончательные значения равны 89 855 и 3 699.

Шаг 1. Вычисляем суммы по всем прямым линиям квадрата. Слагаемые удобно переставлять и объединять так, чтобы сначала получать круглое число.

Строки:
130 + 120 + 170 = (130 + 170) + 120 = 300 + 120 = 420;
180 + 140 + 100 = 180 + (140 + 100) = 180 + 240 = 420;
110 + 160 + 150 = (110 + 150) + 160 = 260 + 160 = 420.

Столбцы:
130 + 180 + 110 = (130 + 110) + 180 = 240 + 180 = 420;
120 + 140 + 160 = (120 + 160) + 140 = 280 + 140 = 420;
170 + 100 + 150 = (170 + 150) + 100 = 320 + 100 = 420.

Диагонали:
130 + 140 + 150 = (130 + 150) + 140 = 280 + 140 = 420;
170 + 140 + 110 = (170 + 110) + 140 = 280 + 140 = 420.

Шаг 2. Сравниваем восемь полученных значений и формулируем вывод.

Каждая из восьми сумм равна 420. Значит, сумма не зависит от того, берём ли мы строку, столбец или диагональ. Это подтверждает, что данный квадрат магический, а его магическая сумма равна 420.

Дополнительная проверка для строк: сумма всех девяти чисел равна 1 260, а 420 · 3 = 1 260. Та же общая сумма получается при объединении трёх столбцов. Диагонали проверяем отдельно, потому что они не образуют разбиение квадрата на три непересекающиеся линии.

Для быстрой устной проверки можно начать с пар, дающих 280 или 300. В первой строке 130 + 170 = 300, после прибавления 120 получается 420. В среднем столбце 120 + 160 = 280, затем 280 + 140 = 420. На обеих диагоналях крайние числа также дают 280, а центральное число 140 завершает сумму до 420.

Проверка только одной строки показывает возможную магическую сумму, но ещё не доказывает свойство всего квадрата. Поэтому отдельно вычислены все строки, все столбцы и обе диагонали.

Шаг 1. Находим площадь первой фигуры по клеткам.

В первой фигуре 6 полных клеток и 10 половинок. Две половинки составляют одну целую клетку, поэтому 10 : 2 = 5 клеток. Всего 6 + 5 = 11 клеток. Половинки объединяем попарно, не округляя каждую из них до целой клетки.

Шаг 2. Тем же способом находим площадь второй фигуры.

Во второй фигуре 6 полных клеток и 16 половинок. Из половинок получаем 16 : 2 = 8 целых клеток. Площадь равна 6 + 8 = 14 клеток. Одинаковые 6 полных клеток входят в площадь обеих фигур, а различие возникает из-за количества половинок.

Шаг 3. Сравниваем найденные площади.

11 < 14, поэтому площадь второй фигуры больше. Разность равна 14 - 11 = 3 клетки. Ответ: вторая фигура занимает на 3 клетки больше первой.

Проверка разности: (6 + 16 : 2) - (6 + 10 : 2) = 14 - 11 = 3. Равные части по 6 клеток сокращаются, а 8 - 5 = 3 показывает разницу между площадями половинных частей.