ГДЗ Математика 4 класс Моро учебник 1 часть — страница 65

Шаг 1. Доля показывает, сколько равных частей целого взято. Поэтому сначала считаем все равные части отрезка AB, затем части нужного отрезка.

На первом чертеже точки C и D делят AB на три одинаковых участка: AC, CD и DB.

Весь AB состоит из 3 равных частей, а CD занимает одну из них.

Следовательно, CD составляет одну третью длины AB.

На втором чертеже AB разделён на 6 одинаковых участков.

Шаг 2. AM занимает один участок, KB занимает один участок, между M и K остаются четыре участка.

Значит, MK составляет четыре шестых длины AB.

Четыре шестых можно разбить на две одинаковые группы по две шестых.

Так как 4 : 2 = 2 и 6 : 2 = 3, доля четыре шестых равна двум третьим.

Проверяем по рисунку: MK в два раза длиннее оставшихся двух участков вместе, то есть занимает 4 части из 6.

Шаг 3. Первая доля записывается как 1 из 3, вторая как 4 из 6.

Участки сравниваем с одним и тем же целым отрезком AB, иначе название доли было бы неверным.

Ответ для каждого чертежа записываем отдельно: CD равен одной третьей, MK равен четырём шестым, или двум третьим.

Шаг 1. Одна восьмая означает одну из восьми равных частей целого отрезка.

Длина одной такой части известна и равна 8 мм.

Весь отрезок содержит восемь участков по 8 мм.

Находим длину целого умножением: 8 · 8 = 64 мм.

Проверяем повторным сложением: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 64 мм.

Шаг 2. Для построения линейкой переводим длину: 64 мм = 6 см 4 мм.

Чертим отрезок длиной 6 см 4 мм и отмечаем на нём границы через каждые 8 мм.

После разметки должны получиться восемь одинаковых участков.

Проверка делением: 64 : 8 = 8 мм, значит, восьмая часть построенного отрезка соответствует условию.

Шаг 3. Схема показывает все восемь частей и общую длину.

Единица ответа остаётся миллиметром, потому что в условии длина части дана в миллиметрах.

Шаг 4. Искомый отрезок в 8 раз длиннее одной своей восьмой части.

При построении откладываем части от одной начальной точки без промежутков и наложений; тогда сумма восьми участков точно образует весь отрезок.

Результат 64 мм больше 8 мм в восемь раз, что соответствует смыслу целого и его восьмой доли.

Шаг 1. Стороны прямоугольника равны 6 см и 2 см.

Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины: 6 · 2 = 12 см².

Считаем все равные треугольники на чертеже и получаем 12 частей.

Так как части равны, площадь каждой части одинакова.

Находим площадь одного треугольника: 12 : 12 = 1 см².

Проверяем: 1 · 12 = 12 см², то есть части полностью составляют прямоугольник.

Шаг 2. Закрашено 5 треугольников.

Площадь закрашенной области равна 1 · 5 = 5 см².

Первый способ найти незакрашенную площадь: из площади всего прямоугольника вычитаем закрашенную, 12 - 5 = 7 см².

Второй способ: незакрашенными остались 12 - 5 = 7 треугольников.

Умножаем площадь одного треугольника на их число: 1 · 7 = 7 см².

Оба способа дают одинаковый результат.

Проверяем сложением частей: 5 + 7 = 12 см².

Шаг 3. На схеме пять частей выделены цветом, остальные семь оставлены светлыми.

Ответы относятся к трём вопросам по порядку: число частей, закрашенная площадь и незакрашенная площадь.

Форма отдельных частей треугольная, но площадь измеряем в квадратных сантиметрах.

Площадь всей фигуры является суммой площадей двенадцати треугольников, поэтому деление 12 : 12 выполняем после установления их равенства.

Каждая пара соседних треугольников образует прямоугольник площадью 2 см²; половина такого прямоугольника имеет площадь 1 см².

Шаг 4. Закрашенная область может состоять из раздельных частей, но её площадь равна сумме площадей пяти закрашенных треугольников.

Для незакрашенной области считаем семь оставшихся долей: всего 12, закрашено 5, следовательно, 12 - 5 = 7.

Первая проверка использует площадь целого, вторая использует число равных долей. Совпадение результатов подтверждает оба вычисления.

Единицы в формулах не смешиваются: длины даны в сантиметрах, а результат произведения записывается в квадратных сантиметрах.

Полная последовательность вычислений: 6 · 2 = 12; 12 : 12 = 1; 1 · 5 = 5; 12 - 5 = 7.

Шаг 1. Записываем данные задачи.

Общую длину провода находим умножением количества мотков на длину одного мотка.

Получаем 56 · 5 = 280 м.

Две седьмых относятся ко всему купленному проводу, поэтому целое 280 м делим на 7 равных частей.

Шаг 2. Одна седьмая равна 280 : 7 = 40 м.

Израсходовали две такие части: 40 · 2 = 80 м.

Проверяем размер израсходованной части: 80 м меньше 280 м.

Оставшуюся длину находим вычитанием: 280 - 80 = 200 м.

Шаг 3. Можно рассуждать иначе: после расходования двух седьмых осталось 7 - 2 = 5 седьмых.

Тогда 40 · 5 = 200 м, ответ совпадает.

Проверка: 80 + 200 = 280 м.

Шаг 4. Каждый из пяти мотков учтён в первом действии, а доля вычисляется уже от их общей длины.

Нельзя делить один моток на семь частей, потому что в условии сказано о долях всего провода.

Ответ записываем в метрах.

Шаг 5. Две седьмых означают сумму двух одинаковых седьмых частей: 40 + 40 = 80 м.

После расходования остаются пять седьмых всего провода, поскольку 7 - 2 = 5.

Вычисление оставшейся длины через пять долей имеет вид (280 : 7) · 5 = 200 м.

Шаг 6. Основной способ и способ через оставшиеся доли используют разные последние действия, но приводят к одному ответу.

Краткая запись различает количество мотков и метры: число 5 умножается на длину 56 м, поэтому получается общая длина.

Если разделить найденные 200 м на длину одной седьмой 40 м, получим 5 оставшихся долей.

Шаг 1. Сопоставляем время работы и выполненную площадь.

При одинаковой производительности за каждый час выполняется одинаковый объём работы.

Чтобы найти работу за один час, общую площадь делим на число часов: 234 : 3 = 78 м².

Проверяем: 78 · 3 = 234 м².

За 10 часов будет выполнено десять одинаковых часовых норм.

Шаг 2. Умножаем 78 · 10 = 780 м².

При умножении на 10 к записи 78 приписываем справа ноль.

Решение одним выражением: (234 : 3) · 10 = 780 м².

Связь величин: производительность за час · время = вся выполненная работа.

Шаг 3. Обратная проверка: 780 : 10 = 78 м² за час.

За 10 часов площадь должна быть больше, чем за 3 часа; 780 > 234, поэтому результат согласуется с условием.

Ответ выражаем в квадратных метрах, а не в метрах, поскольку измеряется площадь дороги.

Производительность здесь выражается площадью, разровненной за один час: 78 м²/ч.

Шаг 4. Число 10 показывает продолжительность работы, поэтому часовую производительность умножаем, а не делим.

За дополнительные 7 часов получится 78 · 7 = 546 м²; вместе 234 + 546 = 780 м².

Дополнительный способ показывает, что первые 3 часа уже входят в общее время 10 часов.

Условие об одинаковой производительности необходимо: без него нельзя считать, что каждый час выполняется по 78 м².

Шаг 1. Полное действие: 92 : 46 = 2.

Подбираем частное: 46 · 2 = 92, остаток равен нулю.

Полное действие: 87 : 29 = 3.

Подбираем частное: 29 · 3 = 87, остаток равен нулю.

В выражении 10 000 - 935 : 5 первым выполняем деление. Полное действие: 935 : 5 = 187.

Делим по разрядам: 9 : 5 = 1 с остатком 4; 43 : 5 = 8 с остатком 3; 35 : 5 = 7.

Полное действие: 10 000 - 187 = 9 813.

В выражении 20 000 - 198 · 4 первым выполняем умножение. Полное действие: 198 · 4 = 792.

Единицы: 8 · 4 = 32; десятки: 9 · 4 + 3 = 39; сотни: 1 · 4 + 3 = 7.

Полное действие: 20 000 - 792 = 19 208.

В первых двух примерах частное подбираем по таблице умножения: 46 · 2 = 92 и 29 · 3 = 87. Оба деления выполняются нацело, поэтому остаток равен нулю.

После деления 935 : 5 = 187 выполняем вычитание 10 000 - 187. Из-за нулей занимаем единицу тысячи, последовательно превращая её в сотни, десятки и единицы. Получаем 9 813.

В выражении 20 000 - 198 · 4 сначала находим произведение 792. Только после этого вычитаем: 20 000 - 792 = 19 208. Такой порядок обязателен, потому что умножение старше вычитания.

Шаг 2. В выражении 7 · (948 - 833) : 5 начинаем со скобок. Полное действие: 948 - 833 = 115.

Затем умножаем. Полное действие: 115 · 7 = 805.

Единицы: 5 · 7 = 35; десятки: 1 · 7 + 3 = 10; сотни: 1 · 7 + 1 = 8.

Завершаем делением. Полное действие: 805 : 5 = 161.

Получаем 7 · (948 - 833) : 5 = 161.

В выражении (159 + 837) : 6 · 4 первым выполняем сложение в скобках. Полное действие: 159 + 837 = 996.

Единицы дают 16 с переносом, десятки дают 9, сотни дают 9. Сумма равна 996.

Делим. Полное действие: 996 : 6 = 166.

По разрядам получаем 1 сотню, 6 десятков и 6 единиц, остаток равен нулю.

Последнее действие: 166 · 4 = 664.

Единицы: 6 · 4 = 24; десятки: 6 · 4 + 2 = 26; сотни: 1 · 4 + 2 = 6.

Получаем (159 + 837) : 6 · 4 = 664.

Во всех выражениях сначала выполняем действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, после этого сложение и вычитание.

Проверки делений: 187 · 5 = 935; 161 · 5 = 805; 166 · 6 = 996.

В пятом выражении после скобок действия одной ступени выполняем слева направо: 7 · 115 = 805, затем 805 : 5 = 161. Нельзя сначала делить 115 на 5, меняя установленный порядок записи.

В шестом выражении сумма в скобках равна 996. Далее также движемся слева направо: 996 : 6 = 166 и 166 · 4 = 664.

Полные цепочки: 7 · (948 - 833) : 5 = 7 · 115 : 5 = 805 : 5 = 161; (159 + 837) : 6 · 4 = 996 : 6 · 4 = 166 · 4 = 664.

Проверки 187 · 5 = 935, 161 · 5 = 805 и 166 · 6 = 996 подтверждают все найденные частные.

Шаг 1. Деление с остатком проверяем равенством: делитель · частное + остаток = делимое.

Дополнительно остаток должен быть неотрицательным и меньше делителя.

Для первой записи 8 · 9 + 6 = 72 + 6 = 78, а не 76. Запись неверна.

Правильный остаток равен 76 - 72 = 4, поэтому 76 : 8 = 9 (ост. 4).

Проверяем: 4 < 8 и 8 · 9 + 4 = 76.

Для второй записи 6 · 132 = 792.

Прибавляем остаток: 792 + 1 = 793. Получили делимое.

Шаг 2. Остаток 1 меньше 6, поэтому 793 : 6 = 132 (ост. 1) выполнено верно.

Для третьей записи 11 · 4 = 44; 44 + 10 = 54.

Остаток 10 меньше делителя 11, поэтому запись 54 : 11 = 4 (ост. 10) верна.

Для четвёртой записи 7 · 87 = 609; 609 + 4 = 613, а не 612.

Правильный остаток равен 612 - 609 = 3.

Проверяем исправление: 3 < 7 и 609 + 3 = 612.

Итак, в первой и четвёртой записях были неверные остатки; вторая и третья записи верны.

Шаг 3. Нельзя считать запись правильной только потому, что остаток меньше делителя: обязательно восстанавливаем делимое.

Алгоритм проверки содержит два условия: восстановленное делимое совпадает с данным, а остаток меньше делителя.

Если первое условие не выполнено, настоящий остаток находим вычитанием произведения делителя и частного из делимого.

В первом примере 76 - 8 · 9 = 4, поэтому заменить требуется только остаток, частное 9 остаётся верным.

В четвёртом примере 612 - 7 · 87 = 3; здесь также исправляем остаток, не меняя частное.

Во второй записи 793 - 792 = 1, а в третьей 54 - 44 = 10. Эти остатки совпадают с указанными.

Все исправленные записи отвечают равенству: делимое = делитель · частное + остаток.

Остаток в каждой верной записи меньше делителя, иначе деление с остатком записано неправильно.

Шаг 1. Разделяем общее количество на две части.

В каждой из 15 корзин находится по 100 лимонов.

Количество разложенных лимонов находим умножением: 100 · 15 = 1 500.

Можно представить произведение как 15 сотен, то есть 1 500.

Ещё 30 лимонов не вошли в корзины, но они входят в первоначальное количество.

Шаг 2. Поэтому к 1 500 прибавляем 30: 1 500 + 30 = 1 530.

Решение одним выражением: 100 · 15 + 30 = 1 530.

Проверяем: из общего количества вычитаем оставшиеся лимоны, 1 530 - 30 = 1 500.

Делим 1 500 на 100 и получаем 15 полных корзин.

Число 30 меньше вместимости корзины 100, поэтому оставшихся лимонов действительно недостаточно для ещё одной полной корзины.

Шаг 3. Связь величин: число корзин · количество в одной корзине + остаток = всё количество.

Ответ записываем в штуках и формулируем словом «лимонов».

Число 15 обозначает количество одинаково заполненных корзин, а число 100 обозначает наполнение каждой корзины.

Произведение 100 · 15 учитывает только лимоны внутри корзин, поэтому после первого действия задача ещё не решена.

Шаг 4. Слово «осталось» не требует вычитания: 30 лимонов остались неразложенными и входят в первоначальное количество.

Если бы требовалось узнать только разложенное количество, ответом было бы 1 500; вопрос о первоначальном количестве требует суммы.

Проверка разбиением: 1 530 = 15 · 100 + 30, причём 30 < 100.

Таким образом, из 1 530 лимонов получаются ровно 15 полных сотен и остаток 30 лимонов.

Шаг 1. Сравнивать величины удобно после перевода каждой пары в одинаковые единицы.

Для длины 1 м = 10 дм, поэтому 5 м = 5 · 10 = 50 дм.

Первая пара равна: 50 дм = 50 дм.

При переводе площади коэффициент возводится в квадрат: 1 м² = 10 дм · 10 дм = 100 дм².

Поэтому 5 м² = 5 · 100 = 500 дм².

Сравниваем 500 дм² и 50 дм²: 500 > 50, значит, 5 м² > 50 дм².

Один километр равен 1 000 м.

Так как 400 < 1 000, получаем 400 м < 1 км.

Для площади 1 км² = 1 000 м · 1 000 м = 1 000 000 м².

Сравниваем 400 000 м² и 1 000 000 м²; первое число меньше.

Шаг 2. Следовательно, 400 000 м² < 1 км².

Нельзя применять к площади обычный коэффициент длины: квадратные единицы изменяются в 100 или 1 000 000 раз.

Все четыре знака сравнения подтверждены переводом, а не только сравнением записанных чисел.

Единицы длины описывают протяжённость, а квадратные единицы описывают площадь, поэтому перевод выполняется по разным правилам.

Проверка первой пары обратным переводом: 50 дм : 10 = 5 м.

Пять квадратных метров состоят из пяти квадратов по 100 дм², всего 500 дм².

Четыреста метров составляют только часть километра, поэтому это расстояние меньше 1 км.

Четыреста тысяч квадратных метров составляют часть квадратного километра, поэтому эта площадь меньше 1 км².

Числа 400 000 и 1 000 000 сравниваем после приведения обеих площадей к квадратным метрам.

Шаг 1. Сначала у Тани было на 15 орехов больше, чем у Марины.

Когда Таня отдаёт один орех Марине, количество Тани уменьшается на 1, а количество Марины увеличивается на 1.

Поэтому каждый переданный орех уменьшает разницу сразу на 2.

После передачи первых 7 орехов прежняя разница уменьшается на 7 у Тани: 15 - 7 = 8.

Шаг 2. Восьмой переданный орех получает Марина, и её прибавка становится больше оставшегося преимущества Тани.

Сначала находим, какая часть прежней разницы сохранилась: 15 - 8 = 7 орехов.

Марина одновременно получила 8 орехов.

Сравниваем полученные 8 орехов с оставшимися 7 орехами преимущества Тани: 8 - 7 = 1 орех.

Шаг 3. Значит, после передачи у Марины стало на 1 орех больше.

Короткий способ: разница изменилась на 8 · 2 = 16 орехов.

Изначально преимущество Тани равно 15, а изменение равно 16, поэтому 16 - 15 = 1 орех в пользу Марины.

Проверим на условных числах: если у Марины было 20 орехов, у Тани было 35.

Шаг 4. После передачи станет 28 орехов у Марины и 27 у Тани; 28 - 27 = 1.

Конкретное начальное количество выбирать не требуется, потому что ответ зависит только от разницы и числа переданных орехов.

Шаг 1. Показываем условие на схеме: искомый отрезок состоит из трёх равных частей по 20 мм.

Третья часть - это одна из трёх одинаковых частей целого. Поэтому на схеме отмечаем три равных участка, и над каждым участком указываем длину 20 мм.

Шаг 2. Находим длину всего отрезка.

Весь отрезок содержит три части по 20 мм. Заменяем сложение одинаковых слагаемых умножением: 20 + 20 + 20 = 20 · 3 = 60 мм.

Указанные 20 мм составляют одну треть целого отрезка, а весь отрезок в 3 раза длиннее одной части. Поэтому длину части умножаем на 3, а не делим на 3.

Для построения удобно перевести длину в сантиметры. Так как 10 мм = 1 см, то 60 мм = 6 см.

Шаг 3. Выполняем построение и проверяем длину одной части.

Чертим отрезок длиной 6 см и ставим две отметки через каждые 2 см. Получаются три равных участка по 2 см, то есть по 20 мм.

Проверка: 60 : 3 = 20 мм. Значит, третья часть построенного отрезка имеет требуемую длину.