ГДЗ Математика 4 класс Моро учебник 1 часть — страница 64

Шаг 1. Отрезок длиной 60 мм принимаем за целое и делим на шесть равных частей.

Находим одну шестую: 60 : 6 = 10 мм.

Проверяем: 10 · 6 = 60 мм.

Нужно взять не одну, а пять таких частей.

Умножаем длину одной части на 5: 10 · 5 = 50 мм.

Шаг 2. Можно решить одним выражением: (60 : 6) · 5 = 50 мм.

Оставшаяся шестая часть имеет длину 10 мм; 50 + 10 = 60 мм.

Пять шестых меньше целого, поэтому ответ 50 мм меньше 60 мм.

На схеме пять частей выделены цветом, шестая оставлена светлой.

Ответ относится к длине пяти выбранных долей.

Шаг 3. Доля получается только тогда, когда целое разделено на равные части. Здесь все шесть частей отрезка имеют одинаковую длину.

В названии «одна шестая» слово «шестая» показывает, что весь отрезок разделили на 6 частей.

В названии «пять шестых» число 5 показывает, сколько одинаковых частей требуется взять.

Для чертежа отмечаем начало отрезка, затем последовательно откладываем шесть участков по 10 мм и ставим конечную точку.

Общая длина построения равна 6 · 10 = 60 мм, поэтому схема соответствует условию.

Шаг 4. Первые пять участков вместе дают 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50 мм. Эта сумма совпадает с произведением 10 · 5.

Можно найти искомую длину вычитанием: 60 - 10 = 50 мм, потому что от всего отрезка не взяли одну шестую.

Оба способа дают одинаковый результат: (60 : 6) · 5 = 60 - 60 : 6 = 50 мм.

В вычислениях сохраняем единицу длины: делим и умножаем количество миллиметров, поэтому ответ также выражен в миллиметрах.

Краткая запись решения содержит два действия: сначала размер одной доли, затем размер пяти таких долей.

Шаг 1. Измеряем стороны прямоугольника: 3 см и 5 см.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: 3 · 5 = 15 см².

Диагональ разделяет прямоугольник на два треугольника.

При наложении треугольники совпадают, поэтому они равны и имеют одинаковые площади.

Площадь каждого треугольника составляет половину площади прямоугольника.

Для деления без дробного результата переводим площадь в квадратные миллиметры.

Один квадратный сантиметр равен 100 мм², поэтому 15 см² = 1 500 мм².

Шаг 2. Делим площадь пополам: 1 500 : 2 = 750 мм².

Проверяем: 750 + 750 = 1 500 мм².

На схеме обе равные части подписаны одинаковой площадью.

Равенство площадей следует из совпадения фигур при наложении, а не только из внешнего сходства.

Ответ записываем в квадратных миллиметрах.

У полученных треугольников совпадают соответствующие стороны: длина, ширина прямоугольника и общий разрез. Это подтверждается практической проверкой наложением.

Равные фигуры обязательно имеют равные площади. Обратное утверждение не всегда верно: одинаковой площадью могут обладать фигуры разной формы.

Шаг 3. Если считать по клеткам, сторона 3 см занимает 6 клеток по 5 мм, а сторона 5 см занимает 10 таких клеток.

Во всём прямоугольнике 6 · 10 = 60 маленьких клеток, а один треугольник занимает половину, то есть 60 : 2 = 30 клеток.

Площадь клетки со стороной 5 мм равна 5 · 5 = 25 мм². Тогда 30 · 25 = 750 мм².

Дополнительный подсчёт по клеткам подтверждает основной способ через площадь всего прямоугольника.

При переводе площади множитель равен 100, а не 10, потому что 1 см² = 10 мм · 10 мм.

Проверка в квадратных сантиметрах: 750 мм² = 7 см² 50 мм², а две такие площади образуют 15 см².

Шаг 1. Сначала определяем постоянный расход масла за один день.

За 7 дней израсходовали 21 кг, поэтому 21 : 7 = 3 кг в день.

Проверяем норму: 3 · 7 = 21 кг.

При прежней норме запас 36 кг делим на 3 кг в день: 36 : 3 = 12 дней.

Проверяем: 3 · 12 = 36 кг.

Шаг 2. Во втором вопросе расход увеличивается на 1 кг: 3 + 1 = 4 кг в день.

Теперь 36 кг делим на 4 кг в день: 36 : 4 = 9 дней.

Проверяем: 4 · 9 = 36 кг.

При большем ежедневном расходе одинакового запаса хватает на меньшее число дней: 9 < 12.

Разница составляет 12 - 9 = 3 дня.

Шаг 3. Первый ответ относится к прежней норме, второй - к норме, увеличенной на 1 кг.

Нельзя прибавлять 1 к числу дней: по условию увеличивается расход масла за день.

Связь величин: расход за день · число дней = общий запас.

Решение можно проверить общим запасом: в обоих случаях произведение нормы на число дней равно 36 кг.

Ответы записываем в том же порядке, в котором поставлены вопросы.

Шаг 4. В задаче связаны три величины: расход за один день, количество дней и весь израсходованный запас.

Если известны общий расход и число дней, ежедневную норму находим делением общего расхода на число дней.

Поэтому первое действие 21 : 7 отвечает именно на вопрос о расходе за один день, а не о новом количестве дней.

Полученные 3 кг считаем неизменной нормой для первого вопроса, так как в условии сказано «при той же норме расхода».

Чтобы найти число дней, общий запас делим на количество килограммов, расходуемое за один день.

Шаг 5. Запись 36 : 3 можно понимать как вопрос: сколько групп по 3 кг содержится в 36 кг. Таких групп 12.

Для второго случая изменяем только ежедневную норму. Общий запас остаётся равным 36 кг.

Фраза «на 1 кг больше» означает сложение 3 + 1, поэтому новый расход равен 4 кг за день.

Запись 36 : 4 показывает, сколько полных дневных порций по 4 кг можно получить из запаса. Получаем 9 порций, значит, 9 дней.

Шаг 6. Сравнение 4 кг > 3 кг и 9 дней < 12 дней согласуется со смыслом задачи: чем быстрее расходуют один и тот же запас, тем раньше он закончится.

Можно выполнить обратную проверку исходных данных: 21 : 3 = 7 дней, что совпадает с условием.

Числа 12 и 9 обозначают дни, поэтому рядом с результатами деления указываем сокращение «дн.». Результаты 3 и 4 обозначают килограммы.

Полная цепочка зависимости имеет вид: 21 кг и 7 дней дают 3 кг в день; 36 кг при 3 кг в день дают 12 дней; 36 кг при 4 кг в день дают 9 дней.

Шаг 1. Умножение начинаем с единиц и показываем переносы малыми цифрами над принимающим разрядом. При делении уголком последовательно выделяем неполные делимые.

При записи умножения второй множитель помещаем под разрядом единиц первого множителя. Знак действия ставим слева, а результат записываем под чертой разряд под разрядом.

Если произведение в одном разряде больше 9, цифру этого разряда пишем в ответ, а десятки переносятся в следующий разряд и прибавляются к следующему произведению.

В делении сначала выбираем наименьшую слева часть делимого, которая не меньше делителя. Она называется первым неполным делимым.

Число цифр в частном заранее определяется разрядом первого неполного делимого: если начинаем с сотен, частное будет трёхзначным.

После каждой найденной цифры частного умножаем её на делитель и вычитаем результат. Полученный промежуточный остаток обязан быть меньше делителя.

Полное действие: 231 · 4 = 924.

Единицы: 1 · 4 = 4.

Десятки: 3 · 4 = 12, пишем 2 десятка и переносим 1 сотню.

Сотни: 2 · 4 + 1 = 9. Получаем 924.

В записи 924 цифра 4 показывает единицы, 2 показывает десятки, а 9 показывает сотни.

Перенесённая сотня обязательно прибавляется после умножения сотен: без неё ошибочно получилось бы 824.

Полное действие: 304 · 3 = 912.

Единицы: 4 · 3 = 12, пишем 2 и переносим 1 десяток.

Десятки: 0 · 3 + 1 = 1. Нулевой разряд не пропускаем.

Сотни: 3 · 3 = 9. Получаем 912.

Ноль в разряде десятков участвует в вычислении: после прибавления перенесённого десятка в ответе появляется цифра 1.

Проверка приближением: 304 немного больше 300, значит, произведение немного больше 900; результат 912 подходит.

Шаг 2. Полное действие: 129 · 6 = 774.

Единицы: 9 · 6 = 54, пишем 4 и переносим 5 десятков.

Десятки: 2 · 6 + 5 = 17, пишем 7 и переносим 1 сотню.

Сотни: 1 · 6 + 1 = 7. Получаем 774.

Пять десятков, полученные при умножении единиц, записываем малой цифрой над разрядом десятков и учитываем только один раз.

После умножения десятков переносим уже одну сотню; она прибавляется к произведению 1 · 6.

Полное действие: 984 : 8 = 123.

Первое неполное делимое 9 сотен: 9 : 8 = 1, остаток 1.

Сносим 8 десятков и получаем 18: 18 : 8 = 2, остаток 2.

Сносим 4 единицы: 24 : 8 = 3. Остаток 0, частное 123.

Первая цифра частного 1 означает одну сотню, вторая цифра 2 означает два десятка, третья цифра 3 означает три единицы.

Промежуточные остатки 1 и 2 меньше делителя 8, поэтому каждая цифра частного выбрана верно.

После последнего вычитания 24 - 24 = 0, новых цифр делимого нет, следовательно, деление завершено.

Шаг 3. Полное действие: 938 : 7 = 134.

Первое неполное делимое 9: 9 : 7 = 1, остаток 2.

Сносим 3 и получаем 23: 23 : 7 = 3, остаток 2.

Сносим 8: 28 : 7 = 4. Остаток 0, частное 134.

Так как первое неполное делимое 9 находится в разряде сотен, в частном сразу предусматриваем три места.

Для 23 выбираем цифру 3: 7 · 3 = 21, а цифра 4 не подходит, потому что 7 · 4 = 28 > 23.

Для 28 выбираем цифру 4 точно: 7 · 4 = 28, поэтому конечный остаток равен нулю.

Полное действие: 876 : 4 = 219.

Первое неполное делимое 8: 8 : 4 = 2, остаток 0.

Сносим 7: 7 : 4 = 1, остаток 3.

Сносим 6 и получаем 36: 36 : 4 = 9. Остаток 0, частное 219.

После первой цифры частного промежуточный остаток равен нулю, но следующую цифру делимого всё равно сносим и продолжаем вычисление.

Для неполного делимого 7 выбираем 1, потому что 4 · 1 = 4, а 4 · 2 = 8 уже больше 7.

Остаток 3 превращается в 30 единиц, после сноса 6 получаем 36; последняя цифра частного равна 9.

Проверяем произведения делением: 924 : 4 = 231; 912 : 3 = 304; 774 : 6 = 129.

Проверяем частные умножением: 123 · 8 = 984; 134 · 7 = 938; 219 · 4 = 876.

Все три деления выполнены без остатка.

При чтении результатов называем действие полностью: произведение 231 и 4 равно 924; частное 984 и 8 равно 123.

Оценка подтверждает результаты умножения: 231 · 4 близко к 200 · 4 = 800, 304 · 3 близко к 300 · 3 = 900, 129 · 6 близко к 130 · 6 = 780.

Оценка подтверждает результаты деления: 984 : 8 близко к 1 000 : 8, 938 : 7 близко к 910 : 7, 876 : 4 близко к 880 : 4.

Нулевые остатки при делении и точные обратные произведения показывают, что все цифры частных найдены правильно.

Шаг 1. В первой паре обе правые части равны 125 · 3 = 375.

В уравнении x + 75 = 375 неизвестное слагаемое: x = 375 - 75 = 300.

Проверка: 300 + 75 = 375.

В уравнении x - 75 = 375 неизвестное уменьшаемое: x = 375 + 75 = 450.

Проверка: 450 - 75 = 375.

Первая пара содержит одинаковые числа, но разные действия, поэтому правила поиска x и ответы различаются.

Во второй паре x · 10 = 250 даёт x = 250 : 10 = 25.

Уравнение x : 10 = 250 даёт x = 250 · 10 = 2 500.

Шаг 2. Первое уравнение содержит неизвестный множитель, второе - неизвестное делимое.

В третьей паре x : 7 = 140: неизвестное делимое x = 140 · 7 = 980.

В уравнении 140 : x = 7 неизвестен делитель: x = 140 : 7 = 20.

Проверки: 980 : 7 = 140 и 140 : 20 = 7.

В четвёртой паре 32 : x = 32 даёт x = 32 : 32 = 1.

Уравнение 32 · x = 32 также даёт x = 32 : 32 = 1.

Действия различаются, но оба равенства верны при x = 1: деление на 1 и умножение на 1 сохраняют число.

Во всех парах сначала определяем компонент действия, затем применяем соответствующее обратное действие.

Шаг 3. Ответы внутри каждой пары сравниваем только после проверки подстановкой.

Итог: в первых трёх парах корни различаются, в четвёртой совпадают.

Уравнение является равенством с неизвестным числом. Решить его означает найти значение x, при котором левая и правая части становятся равными.

Полная запись первого решения:
x + 75 = 125 · 3;
x + 75 = 375;
x = 375 - 75;
x = 300.

Полная запись второго решения:
x - 75 = 125 · 3;
x - 75 = 375;
x = 375 + 75;
x = 450.

В обоих уравнениях первой пары до поиска x обязательно вычисляем произведение справа. Различие появляется при определении компонента: слагаемое ищем вычитанием, уменьшаемое сложением.

Полная запись третьего решения:
x · 10 = 250;
x = 250 : 10;
x = 25.
Проверка: 25 · 10 = 250.

Полная запись четвёртого решения:
x : 10 = 250;
x = 250 · 10;
x = 2 500.
Проверка: 2 500 : 10 = 250.

Шаг 4. Во второй паре числа 10 и 250 совпадают, однако положение x относительно знака действия различно. Поэтому корни 25 и 2 500 не совпадают.

Полная запись пятого решения:
x : 7 = 140;
x = 140 · 7;
x = 980.
Проверка: 980 : 7 = 140.

Полная запись шестого решения:
140 : x = 7;
x = 140 : 7;
x = 20.
Проверка: 140 : 20 = 7.

В третьей паре действие деления записано в обоих случаях, но x занимает разные места: сначала место делимого, затем место делителя. Правила поиска этих компонентов различаются.

Полная запись седьмого решения:
32 : x = 32;
x = 32 : 32;
x = 1.
Проверка: 32 : 1 = 32.

Полная запись восьмого решения:
32 · x = 32;
x = 32 : 32;
x = 1.
Проверка: 32 · 1 = 32.

Шаг 5. В четвёртой паре неизвестны разные компоненты, но для их нахождения получается одно и то же вычисление 32 : 32. Поэтому оба корня равны 1.

Общее сходство всех пар состоит в повторении чисел внутри пары. Различия связаны со знаком действия или с местом неизвестного компонента.

Подстановка каждого найденного числа возвращает верное числовое равенство, поэтому посторонних корней среди ответов нет.

Шаг 1. Площадь каждого большого квадрата одинакова, потому что стороны равны 2 см.

Находим площадь: 2 · 2 = 4 см².

В первом квадрате две линии делят фигуру на четыре одинаковых маленьких квадрата.

Во втором квадрате диагонали образуют четыре одинаковых треугольника.

В обоих случаях целое разделено на четыре равные части, значит, каждая часть является одной четвертью.

Площадь одной доли: 4 : 4 = 1 см².

Формы долей различаются, но площади одинаковы.

Проверяем: 1 · 4 = 4 см².

Равная площадь не означает одинаковую форму, однако каждая доля занимает одинаковую часть равных квадратов.

Сравнение выполняем по вычисленным площадям: 1 см² = 1 см².

Одна четверть означает одну из четырёх равных частей целого. Само слово «равных» здесь обязательно.

Для первого рисунка площадь маленького квадрата можно проверить по его сторонам: 1 · 1 = 1 см².

У треугольных долей форма другая, поэтому сравнивать их с квадратными долями только по внешнему виду нельзя.

Поскольку оба исходных квадрата равны и каждый разделён на четыре равновеликие части, одна четверть первого квадрата равна одной четверти второго.

Сумма площадей четырёх долей каждого рисунка равна площади целого: 1 + 1 + 1 + 1 = 4 см².

Следовательно, различный способ разрезания не изменяет ни площадь целого квадрата, ни площадь каждой его четверти.

Шаг 1. По промежуточной записи видно произведение 36 и остаток 6 после первого вычитания.

Первое неполное делимое равно 36 + 6 = 42.

Делитель равен 9, поэтому первая цифра частного: 36 : 9 = 4 десятка.

После вычитания 42 - 36 остаётся 6 десятков.

Сносим последнюю неизвестную цифру делимого и получаем второе неполное делимое.

Последняя цифра частного равна 7, значит, 9 · 7 = 63.

Чтобы из 6 десятков получить 63 единицы, последняя цифра делимого должна быть 3.

Получаем делимое 423 и частное 47.

Полное деление: 423 : 9 = 47.

Проверяем умножением: 47 · 9 = 423.

Остаток равен нулю, поэтому деление выполнено нацело.

Восстановленные цифры однозначно согласуются со всеми промежуточными строками.

При делении трёхзначного числа первое неполное делимое может состоять из двух первых цифр. Здесь одна первая цифра меньше 9, поэтому берём 42.

Число 42 содержит четыре полных группы по 9 и остаток 6: 42 = 9 · 4 + 6.

Остаток 6 меньше делителя 9, значит, первая цифра частного выбрана допустимо.

После сноса последней цифры требуется число от 60 до 69, которое делится на 9 без остатка. В этом промежутке таким числом является 63.

Из равенства 63 = 9 · 7 определяем сразу две пропущенные цифры: 3 в делимом и 7 в частном.

Обратная проверка по разрядам: 47 · 9 = 40 · 9 + 7 · 9 = 360 + 63 = 423.

Первая цифра делимого 4, средняя цифра 2 и последняя цифра 3 образуют число 423; цифры частного 4 и 7 образуют число 47.