Выполни письменное вычитание с объяснением:
7 000 - 345; 9 005 - 876; 100 000 - 271;
300 000 - 2 468; 60 500 - 32 067; 37 007 - 18 032.
7 000 - 345 = 6 655;
9 005 - 876 = 8 129;
100 000 - 271 = 99 729;
300 000 - 2 468 = 297 532;
60 500 - 32 067 = 28 433;
37 007 - 18 032 = 18 975.
Пояснения
Шаг 1. Записываем каждое вычитаемое под уменьшаемым разряд под разрядом. Вычитание ведём справа налево, начиная с единиц.
Если цифры верхнего разряда недостаточно, занимаем одну единицу соседнего старшего разряда. При переходе через нули передаём единицу по всей цепочке и отмечаем заимствования точками над цифрами.
Полное действие: 7 000 - 345 = 6 655.
В разряде единиц число 0 меньше 5. Занимаем одну единицу из разряда единиц тысяч. Заимствование проходит через 2 нулевых разряда. Получаем 10 - 5 = 5.
В разряде десятков вычитаем 9 - 4 = 5. Заимствование здесь не требуется.
В разряде сотен вычитаем 9 - 3 = 6. Заимствование здесь не требуется.
В разряде единиц тысяч вычитаем 6 - 0 = 6. Заимствование здесь не требуется.
Собираем найденные разрядные цифры справа налево и получаем 6 655.
Проверяем сложением: 6 655 + 345 = 7 000. Значит разность найдена верно.
Полное действие: 9 005 - 876 = 8 129.
В разряде единиц число 5 меньше 6. Занимаем одну единицу из разряда единиц тысяч. Заимствование проходит через 2 нулевых разряда. Получаем 15 - 6 = 9.
В разряде десятков вычитаем 9 - 7 = 2. Заимствование здесь не требуется.
В разряде сотен вычитаем 9 - 8 = 1. Заимствование здесь не требуется.
В разряде единиц тысяч вычитаем 8 - 0 = 8. Заимствование здесь не требуется.
Собираем найденные разрядные цифры справа налево и получаем 8 129.
Проверяем сложением: 8 129 + 876 = 9 005. Значит разность найдена верно.
Полное действие: 100 000 - 271 = 99 729.
В разряде единиц число 0 меньше 1. Занимаем одну единицу из разряда сотен тысяч. Заимствование проходит через 4 нулевых разряда. Получаем 10 - 1 = 9.
В разряде десятков вычитаем 9 - 7 = 2. Заимствование здесь не требуется.
В разряде сотен вычитаем 9 - 2 = 7. Заимствование здесь не требуется.
В разряде единиц тысяч вычитаем 9 - 0 = 9. Заимствование здесь не требуется.
В разряде десятков тысяч вычитаем 9 - 0 = 9. Заимствование здесь не требуется.
В разряде сотен тысяч вычитаем 0 - 0 = 0. Заимствование здесь не требуется.
Собираем найденные разрядные цифры справа налево и получаем 99 729.
Проверяем сложением: 99 729 + 271 = 100 000. Значит разность найдена верно.
Шаг 2. Полное действие: 300 000 - 2 468 = 297 532.
В разряде единиц число 0 меньше 8. Занимаем одну единицу из разряда сотен тысяч. Заимствование проходит через 4 нулевых разряда. Получаем 10 - 8 = 2.
В разряде десятков вычитаем 9 - 6 = 3. Заимствование здесь не требуется.
В разряде сотен вычитаем 9 - 4 = 5. Заимствование здесь не требуется.
В разряде единиц тысяч вычитаем 9 - 2 = 7. Заимствование здесь не требуется.
В разряде десятков тысяч вычитаем 9 - 0 = 9. Заимствование здесь не требуется.
В разряде сотен тысяч вычитаем 2 - 0 = 2. Заимствование здесь не требуется.
Собираем найденные разрядные цифры справа налево и получаем 297 532.
Проверяем сложением: 297 532 + 2 468 = 300 000. Значит разность найдена верно.
Полное действие: 60 500 - 32 067 = 28 433.
В разряде единиц число 0 меньше 7. Занимаем одну единицу из разряда сотен. Заимствование проходит через 1 нулевых разряда. Получаем 10 - 7 = 3.
В разряде десятков вычитаем 9 - 6 = 3. Заимствование здесь не требуется.
В разряде сотен вычитаем 4 - 0 = 4. Заимствование здесь не требуется.
В разряде единиц тысяч число 0 меньше 2. Занимаем одну единицу из разряда десятков тысяч. Получаем 10 - 2 = 8.
В разряде десятков тысяч вычитаем 5 - 3 = 2. Заимствование здесь не требуется.
Собираем найденные разрядные цифры справа налево и получаем 28 433.
Проверяем сложением: 28 433 + 32 067 = 60 500. Значит разность найдена верно.
Полное действие: 37 007 - 18 032 = 18 975.
В разряде единиц вычитаем 7 - 2 = 5. Заимствование здесь не требуется.
В разряде десятков число 0 меньше 3. Занимаем одну единицу из разряда единиц тысяч. Заимствование проходит через 1 нулевых разряда. Получаем 10 - 3 = 7.
В разряде сотен вычитаем 9 - 0 = 9. Заимствование здесь не требуется.
В разряде единиц тысяч число 6 меньше 8. Занимаем одну единицу из разряда десятков тысяч. Получаем 16 - 8 = 8.
В разряде десятков тысяч вычитаем 2 - 1 = 1. Заимствование здесь не требуется.
Собираем найденные разрядные цифры справа налево и получаем 18 975.
Проверяем сложением: 18 975 + 18 032 = 37 007. Значит разность найдена верно.
Ноль в середине числа является разрядной цифрой. Его нельзя пропускать при записи столбиком, иначе остальные цифры окажутся не под своими разрядами.
В ответе старший ноль не пишем. Поэтому результат 100 000 - 271 читается как 99 729, а не как шестизначное число с нулём слева.
Дополнительно проверяем первое вычитание по частям: 7 000 - 300 = 6 700, 6 700 - 40 = 6 660, 6 660 - 5 = 6 655.
Для второго примера раскладываем вычитаемое: 876 = 800 + 70 + 6. Тогда получаем 8 205, затем 8 135 и окончательно 8 129.
Третий ответ проверяем дополнением до круглого числа: 99 729 + 200 + 70 + 1 = 100 000.
В четвёртом примере 2 468 = 2 000 + 400 + 60 + 8. Последовательно получаем 298 000, 297 600, 297 540 и 297 532.
Пятый пример проверяем по частям: 60 500 - 32 000 = 28 500, затем 28 500 - 67 = 28 433.
Для последнего примера сначала вычитаем 18 000: 37 007 - 18 000 = 19 007. Затем вычитаем 32 и получаем 18 975.
Оцениваем первый ответ: вычитается меньше тысячи, поэтому разность должна находиться между 6 000 и 7 000. Число 6 655 подходит.
Оцениваем второй ответ: 9 005 - приблизительно 900 должно быть немного больше 8 100. Число 8 129 разумно.
Из 100 000 вычитается только 271, поэтому ответ должен быть близок к 100 000 и начинаться цифрами 99.
Из 300 000 вычитается около 2 500, поэтому ожидаем число около 297 500. Результат 297 532 согласуется с оценкой.
Разность 60 500 - 32 067 должна быть меньше 30 000, потому что вычитаемое больше 30 500. Ответ 28 433 удовлетворяет этому условию.
Числа 37 007 и 18 032 отличаются приблизительно на 19 тысяч. Точный ответ 18 975 находится в ожидаемом диапазоне.
После каждого заимствования уменьшается один старший разряд. Промежуточные нули превращаются в девятки только внутри этой цепочки.
Для 7 000 - 345 разрядный контроль выглядит так: 6 тысяч + 6 сотен + 5 десятков + 5 единиц = 6 655.
Для 9 005 - 876 получены 8 тысяч, 1 сотня, 2 десятка и 9 единиц. Их сумма 8 000 + 100 + 20 + 9 равна 8 129.
Число 99 729 раскладывается как 90 000 + 9 000 + 700 + 20 + 9. Прибавление 271 дополняет его до 100 000.
В результате 297 532 сохраняется шесть разрядов. Здесь нулевых разрядов нет, поэтому каждая позиция ответа занята найденной цифрой.
Для разности 28 433 проверяем младшую часть отдельно: 500 - 67 = 433, а старшая часть после вычитания 32 тысяч из 60 тысяч даёт 28 тысяч.
В последнем столбике заимствование для десятков проходит через ноль сотен, а для тысяч идёт из десятков тысяч. Эти цепочки не смешиваем.
Все шесть проверок возвращают уменьшаемые. Это подтверждает ответы и правильность всех цепочек заимствования.
Шесть разностей и их проверки:
7 000 - 345 = 6 655; 6 655 + 345 = 7 000.
9 005 - 876 = 8 129; 8 129 + 876 = 9 005.
100 000 - 271 = 99 729; 99 729 + 271 = 100 000.
300 000 - 2 468 = 297 532; 297 532 + 2 468 = 300 000.
60 500 - 32 067 = 28 433; 28 433 + 32 067 = 60 500.
37 007 - 18 032 = 18 975; 18 975 + 18 032 = 37 007.
Проверка по частям:
7 000 - 300 - 40 - 5 = 6 655;
9 005 - 800 - 70 - 6 = 8 129;
100 000 - 200 - 70 - 1 = 99 729;
300 000 - 2 000 - 400 - 60 - 8 = 297 532;
60 500 - 32 000 - 60 - 7 = 28 433;
37 007 - 18 000 - 30 - 2 = 18 975.
В первых четырёх примерах заимствование проходит через несколько нулевых разрядов. Нули заменяются девятками только в тех промежуточных разрядах, через которые передаётся занятая единица. Сложение каждой разности с вычитаемым точно восстанавливает уменьшаемое.
Ответы записаны без ведущих нулей.
Проверь, верны ли равенства:
7 км 080 м = 70 800 м;
10 т 300 кг = 10 300 г;
3 м2 = 20 000 см2;
4 ч = 100 мин;
8 мин 20 с = 500 с;
20 км2 = 20 000 000 м2.
1) 7 км 080 м = 7 080 м, поэтому равенство неверно.
2) 10 т 300 кг = 10 300 000 г, поэтому равенство неверно.
3) 3 м2 = 30 000 см2, поэтому равенство неверно.
4) 4 ч = 240 мин, поэтому равенство неверно.
5) 8 мин 20 с = 500 с, равенство верно.
6) 20 км2 = 20 000 000 м2, равенство верно.
Пояснения
Шаг 1. Чтобы сравнить две величины, выражаем обе части равенства в одинаковых единицах. Сравнивать километры с метрами или часы с минутами напрямую нельзя.
Для длины используем соотношение 1 км = 1 000 м. Запись 7 км 080 м означает 7 полных километров и ещё 80 метров.
Переводим километры: 7 · 1 000 = 7 000 м. Прибавляем 80 м и получаем 7 080 м.
Сравниваем 7 080 м и 70 800 м. Числа различны, поэтому первое равенство неверно.
Для массы используем две связи: 1 т = 1 000 кг и 1 кг = 1 000 г. Следовательно, 1 т = 1 000 000 г.
Десять тонн составляют 10 · 1 000 000 = 10 000 000 г.
Триста килограммов составляют 300 · 1 000 = 300 000 г. Складываем: 10 000 000 + 300 000 = 10 300 000 г.
Полученное число не равно 10 300 г, поэтому второе равенство неверно. В правой части исходной записи масса в тысячу раз меньше требуемой.
При переводе площади коэффициент длины нужно возвести в квадрат. Так как 1 м = 100 см, то 1 м2 = 100 · 100 = 10 000 см2.
Три квадратных метра: 3 · 10 000 = 30 000 см2. Это не 20 000 см2, значит, третье равенство неверно.
Для времени помним: 1 ч = 60 мин. Четыре часа составляют 4 · 60 = 240 мин.
Сравниваем 240 мин и 100 мин. Они не равны, поэтому четвёртая запись неверна.
В восьми минутах содержится 8 · 60 = 480 с. Добавляем ещё 20 с: 480 + 20 = 500 с.
Обе части пятого равенства равны 500 с, следовательно, оно верно.
Для последней площади используем 1 км = 1 000 м. Тогда 1 км2 = 1 000 · 1 000 = 1 000 000 м2.
Шаг 2. Двадцать квадратных километров: 20 · 1 000 000 = 20 000 000 м2. Шестое равенство верно.
Проверяем направление перевода: при переходе к более мелким единицам числовое значение увеличивается. Поэтому километры превращаются в тысячи метров, а квадратные километры - в миллионы квадратных метров.
Итог: неверны первые четыре равенства, верны пятое и шестое. В каждом случае вывод сделан после приведения величин к одной единице измерения.
Не смешиваем линейные и квадратные единицы. Для площади множитель 100 или 1 000 применяется дважды, поскольку изменяются обе стороны единичного квадрата.
Записываем единицу измерения возле каждого промежуточного результата: это позволяет увидеть, когда сравнение уже допустимо.
Быстрая проверка первой записи: 7 км немного больше 7 000 м, но никак не 70 000 м. Лишний ноль сразу показывает ошибку.
Во второй записи 10 т уже равны десяти миллионам граммов. Поэтому 10 300 г, то есть лишь 10 кг 300 г, не могут соответствовать исходной массе.
Три квадратных метра больше двух квадратных метров. Число 20 000 см2 как раз равно 2 м2, а не 3 м2.
Сто минут составляют 1 ч 40 мин, что заметно меньше 4 ч. Обратный перевод подтверждает неверность четвёртого равенства.
Пятьсот секунд переводим обратно: 500 : 60 = 8 мин и остаток 20 с. Получаем исходные 8 мин 20 с.
Последнее равенство проверяем обратным делением: 20 000 000 : 1 000 000 = 20 км2.
После преобразований слева и справа должны совпасть и числа, и единицы. Только тогда равенство считается верным.
Для окончательного контроля выписываем выводы по порядку: неверно, неверно, неверно, неверно, верно, верно. Они совпадают с результатами всех шести переводов.
Заполни пропуски:
В 1 тысяче - □ сотен; в 1 сотне - □ десятков; в 1 десятке - □ единиц;
в 1 миллионе - □ сотен тысяч; в 1 сотне тысяч - □ десятков тысяч; в 1 десятке тысяч - □ тысяч.
В 1 тысяче - 10 сотен;
в 1 сотне - 10 десятков;
в 1 десятке - 10 единиц;
в 1 миллионе - 10 сотен тысяч;
в 1 сотне тысяч - 10 десятков тысяч;
в 1 десятке тысяч - 10 тысяч.
Пояснения
Шаг 1. Десятичная система счисления устроена так: 10 единиц любого разряда образуют 1 единицу следующего, более высокого разряда.
Одна тысяча равна 1 000. Одна сотня равна 100, поэтому 1 000 : 100 = 10 сотен.
Одна сотня равна 100, а один десяток равен 10. Получаем 100 : 10 = 10 десятков.
Один десяток содержит 10 отдельных единиц, поэтому в третий пропуск записываем 10.
Один миллион равен 1 000 000, одна сотня тысяч равна 100 000. Делим: 1 000 000 : 100 000 = 10.
Шаг 2. Одна сотня тысяч равна 100 000, один десяток тысяч равен 10 000. Получаем 100 000 : 10 000 = 10.
Один десяток тысяч равен 10 000, одна тысяча равна 1 000. Получаем 10 000 : 1 000 = 10.
В обеих группах действует одно правило разрядов, поэтому каждый из шести пропусков равен 10.
Проверяем обратным переходом: 10 сотен = 1 000, 10 десятков тысяч = 100 000, 10 сотен тысяч = 1 000 000.
Не путать разряд сотен с сотнями тысяч: названия похожи, но их значения отличаются в тысячу раз.
В январе фабрика выпустила 4 850 т бумаги, а в феврале - на 365 т меньше. Из всей этой бумаги 6 335 т пошло на изготовление общих тетрадей, а из остальной бумаги сделали тонкие тетради. Задай вопрос и реши задачу.
Вопрос: сколько тонн бумаги пошло на изготовление тонких тетрадей?
1) 4 850 - 365 = 4 485 (т) - выпустили в феврале.
2) 4 850 + 4 485 = 9 335 (т) - выпустили за два месяца.
3) 9 335 - 6 335 = 3 000 (т) - пошло на тонкие тетради.
(4 850 + (4 850 - 365)) - 6 335 = 3 000 (т).
Ответ: 3 000 т бумаги.
Пояснения
Шаг 1. Составляем условие. Известны выпуск в январе, сравнение февральского выпуска с январским и расход на общие тетради.
| Бумага | Количество |
|---|---|
| В январе | 4 850 т |
| В феврале | на 365 т меньше |
| На общие тетради | 6 335 т |
| На тонкие тетради | ? |
Неизвестна масса бумаги, из которой изготовили тонкие тетради, поэтому именно её нужно найти.
Февральский выпуск на 365 т меньше январского. Слова «на меньше» означают вычитание: 4 850 - 365 = 4 485 т.
При вычислении единиц занимаем десяток: 10 - 5 = 5. В десятках после займа остаётся 4, из 4 вычитаем 6 с новым заимствованием и получаем 8. Далее получаем 4 сотни и 4 тысячи.
Шаг 2. Вся бумага за два месяца состоит из январского и февральского выпуска. Складываем 4 850 + 4 485 = 9 335 т.
В письменном сложении внимательно учитываем положение цифр: единицы 0 + 5 = 5, а десятки образуют сумму 5 + 8 = 13 с переносом одной сотни.
Правильный разрядный разбор суммы: единицы 0 + 5 = 5; десятки 5 + 8 = 13, пишем 3 и переносим сотню; сотни 8 + 4 + 1 = 13, пишем 3 и переносим тысячу; тысячи 4 + 4 + 1 = 9.
Из общего выпуска 6 335 т израсходовали на общие тетради. Остальная бумага пошла на тонкие, поэтому выполняем вычитание.
Шаг 3. Полное действие: 9 335 - 6 335 = 3 000 т.
Единицы, десятки и сотни в уменьшаемом и вычитаемом совпадают, поэтому в трёх младших разрядах получаем нули. Тысячи: 9 - 6 = 3.
Объединяем действия в выражение: (4 850 + (4 850 - 365)) - 6 335. Сначала находим февральский выпуск во внутренних скобках.
Затем складываем выпуск двух месяцев и только после этого вычитаем расход на общие тетради.
Проверяем последний результат: 6 335 + 3 000 = 9 335 т, то есть бумага на два вида тетрадей в сумме равна всему выпуску.
Проверяем февраль: 4 485 + 365 = 4 850, значит, он действительно на 365 т меньше января.
Ответ записываем в тоннах и связываем с придуманным вопросом: на тонкие тетради пошло 3 000 т бумаги.
Садовод разбил фруктовый сад прямоугольной формы. Ширина сада 50 м, а длина в 2 раза больше ширины. Сколько деревьев можно посадить на этой площади, если отводить на одно дерево 10 м2?
1) 50 · 2 = 100 (м) - длина сада.
2) 50 · 100 = 5 000 (м2) - площадь сада.
3) 5 000 : 10 = 500 (дер.).
(50 · (50 · 2)) : 10 = 500 (дер.).
Ответ: 500 деревьев.
Пояснения
Шаг 1. Записываем известные величины и отделяем длину от площади. Ширина и длина измеряются в метрах, площадь - в квадратных метрах.
| Величина | Значение |
|---|---|
| Ширина сада | 50 м |
| Длина сада | в 2 раза больше |
| Площадь на дерево | 10 м² |
| Количество деревьев | ? |
Длина в 2 раза больше ширины, то есть содержит две ширины. Находим её умножением: 50 · 2 = 100 м.
Проверяем сравнение: 100 : 50 = 2, поэтому длина действительно вдвое больше ширины.
Шаг 2. Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины: S = a · b.
Подставляем размеры сада: S = 50 м · 100 м = 5 000 м2.
Квадратные метры появляются потому, что перемножены две длины, выраженные в метрах.
Шаг 3. На одно дерево отводят 10 м2. Вся площадь делится на одинаковые участки по 10 м2.
Находим количество участков: 5 000 : 10 = 500. Значит, можно разместить 500 деревьев.
Проверяем умножением: 500 · 10 = 5 000 м2, вся площадь сада использована.
Шаг 4. Решение одним выражением: (50 · (50 · 2)) : 10. Во внутренних скобках вычисляется длина.
После этого находим площадь, а последним действием делим её на площадь, необходимую одному дереву.
Нельзя делить только длину или только ширину на 10: на одно дерево дана площадь, поэтому сначала требуется площадь всего прямоугольника.
Шаг 5. Оценка подтверждает ответ: участок 50 м на 100 м содержит 50 полос по 100 м2; в каждой полосе помещается 10 участков по 10 м2, всего 50 · 10 = 500.
Ответ выражаем количеством деревьев, а не квадратными метрами.
Найди частное и остаток. Выполни проверку:
67 : 9
28 : 30
673 : 4
489 : 9
544 : 5.
67 : 9 = 7 (ост. 4).
Проверка: 4 < 9; 7 · 9 + 4 = 67.
28 : 30 = 0 (ост. 28).
Проверка: 28 < 30; 0 · 30 + 28 = 28.
673 : 4 = 168 (ост. 1).
Проверка: 1 < 4; 168 · 4 + 1 = 673.
489 : 9 = 54 (ост. 3).
Проверка: 3 < 9; 54 · 9 + 3 = 489.
544 : 5 = 108 (ост. 4).
Проверка: 4 < 5; 108 · 5 + 4 = 544.
Пояснения
Шаг 1. Находим целое частное и остаток для каждого примера отдельно. Остаток должен быть меньше делителя. Затем проверяем равенство: делитель · частное + остаток = делимое.
67 : 9 = 7 (ост. 4).
9 · 7 = 63, а 9 · 8 = 72 уже больше 67. Остаток равен 67 - 63 = 4.
Проверка: 4 < 9; 7 · 9 + 4 = 67.
28 : 30 = 0 (ост. 28).
28 меньше 30, поэтому целое частное равно 0, а остаток равен 28.
Проверка: 28 < 30; 0 · 30 + 28 = 28.
673 : 4 = 168 (ост. 1).
4 · 168 = 672, а 4 · 169 = 676 уже больше 673. Остаток равен 673 - 672 = 1.
Проверка: 1 < 4; 168 · 4 + 1 = 673.
489 : 9 = 54 (ост. 3).
9 · 54 = 486, а 9 · 55 = 495 уже больше 489. Остаток равен 489 - 486 = 3.
Проверка: 3 < 9; 54 · 9 + 3 = 489.
544 : 5 = 108 (ост. 4).
5 · 108 = 540, а 5 · 109 = 545 уже больше 544. Остаток равен 544 - 540 = 4.
Проверка: 4 < 5; 108 · 5 + 4 = 544.
Письменная запись.
673 : 4 = 168 (ост. 1).
168 · 4 = 672.
672 + 1 = 673; 1 < 4.
489 : 9 = 54 (ост. 3).
54 · 9 = 486.
486 + 3 = 489; 3 < 9.
544 : 5 = 108 (ост. 4).
108 · 5 = 540.
540 + 4 = 544; 4 < 5.
В 100 одинаковых вагонах можно перевезти 6 000 т угля. В трёх таких вагонах помещается столько угля, сколько в двух большегрузных вагонах. Сколько тонн угля в одном большегрузном вагоне?
1) 6 000 : 100 = 60 (т) - в одном обычном вагоне.
2) 60 · 3 = 180 (т) - в трёх обычных вагонах.
3) 180 : 2 = 90 (т) - в одном большегрузном вагоне.
((6 000 : 100) · 3) : 2 = 90 (т).
Ответ: 90 т угля.
Пояснения
Шаг 1. Составляем краткое условие. Важно сохранить равенство масс: три обычных вагона перевозят столько же угля, сколько два большегрузных.
| Вагоны | Количество | Масса угля |
|---|---|---|
| Обычные | 100 | 6 000 т |
| Обычные | 3 | столько же, сколько в 2 большегрузных |
| Большегрузные | 1 | ? |
Сначала находим вместимость одного обычного вагона. Общую массу делим на число одинаковых вагонов: 6 000 : 100 = 60 т.
Проверяем: 60 · 100 = 6 000 т, значит, масса одного обычного вагона определена верно.
Теперь требуется масса трёх обычных вагонов. Умножаем вместимость одного вагона на 3: 60 · 3 = 180 т.
Шаг 2. По условию эти 180 т составляют также общую массу угля в двух большегрузных вагонах.
Два большегрузных вагона одинаковы, поэтому делим общую массу на их количество: 180 : 2 = 90 т.
Проверяем: 90 · 2 = 180 т и 60 · 3 = 180 т. Равенство из условия выполняется.
Решение одним выражением: ((6 000 : 100) · 3) : 2.
Шаг 3. Сначала деление в самых внутренних скобках даёт массу одного обычного вагона.
Затем умножение даёт массу трёх обычных вагонов, а последнее деление распределяет ту же массу между двумя большегрузными.
Большегрузный вагон вмещает больше обычного: 90 - 60 = 30 т больше.
Можно проверить отношение вместимости: 90 : 60 = 1,5. Тогда два большегрузных вагона соответствуют трём обычным.
Шаг 4. Нельзя делить 6 000 сразу на 2: число 6 000 относится к ста обычным вагонам, а не к двум большегрузным.
В первом действии делитель равен 100, а не 10. Иначе вместимость обычного вагона была бы завышена в десять раз.
Ответ формулируем для одного большегрузного вагона: 90 т угля.
Проверяем всю цепочку одним вычислением: 90 · 2 : 3 · 100 = 180 : 3 · 100 = 60 · 100 = 6 000 т.
Шаг 5. Единицы согласованы: деление тонн на число вагонов даёт массу для одного вагона, а умножение этой вместимости на количество вагонов снова даёт тонны.
Ответ на 30 т больше вместимости обычного вагона, что соответствует слову «большегрузный» и не противоречит условию.
Вычисли значения выражений:
10 106 - (8 508 - 3 469);
(1 000 + 200) : (20 · 5).
1) 10 106 - (8 508 - 3 469) = 5 067.
2) (1 000 + 200) : (20 · 5) = 12.
Пояснения
Шаг 1. В первом выражении сначала выполняем действие в скобках. Полное действие: 8 508 - 3 469 = 5 039.
Единицы: из 8 нельзя вычесть 9, занимаем десяток через разряд сотен и получаем 18 - 9 = 9.
В десятках после цепочки займа остаётся 9: 9 - 6 = 3. В сотнях осталось 4: 4 - 4 = 0.
Тысячи: 8 - 3 = 5. Внутри скобок получилось 5 039.
Шаг 2. Подставляем найденную разность. Полное второе действие: 10 106 - 5 039 = 5 067.
Единицы: из 6 нельзя вычесть 9. Занимаем десяток через нулевой разряд сотен: 16 - 9 = 7.
В десятках после займа остаётся 9: 9 - 3 = 6. В сотнях осталось 0: 0 - 0 = 0.
Для тысяч занимаем десяток тысяч: 10 - 5 = 5. Старший разряд после займа равен нулю и в ответе не записывается. Получаем 5 067.
Во втором выражении две пары скобок независимы. Вычисляем первую: 1 000 + 200 = 1 200.
Вычисляем вторую: 20 · 5 = 100.
После скобок остаётся 1 200 : 100 = 12.
Проверяем деление: 12 · 100 = 1 200.
Скобки задают порядок действий. Нельзя начинать с деления 200 : 20, потому что эти числа принадлежат разным скобкам.
Итоговые значения двух выражений равны 5 067 и 12.
Какая доля каждой фигуры закрашена?
В первой фигуре закрашена одна вторая, или половина.
Во второй фигуре закрашена одна четвёртая, или четверть.
Пояснения
Шаг 1. Рассматриваем каждую фигуру отдельно. Клетки одинакового размера, поэтому площадь можно сравнивать по количеству клеток.
Первая фигура содержит 12 клеток. Закрашено 6 клеток.
Находим, во сколько раз вся фигура больше закрашенной части: 12 : 6 = 2.
Значит, вся фигура состоит из двух частей, каждая из которых равна закрашенной области. Закрашена одна из двух равных частей, то есть одна вторая.
Можно выполнить проверку: 6 · 2 = 12 клеток. Две такие половины составляют целое.
Вторая фигура содержит 16 клеток, из них закрашены 4.
Делим площадь целого на площадь закрашенной части: 16 : 4 = 4.
Целое состоит из четырёх частей по 4 клетки. Закрашена одна такая часть, следовательно, это одна четвёртая.
Проверка: 4 · 4 = 16 клеток. Четыре четверти составляют целую фигуру.
Шаг 2. Сравниваем доли: одна вторая больше одной четвёртой, потому что при делении одинакового целого на две части каждая часть крупнее, чем при делении на четыре.
Число закрашенных клеток само по себе не называется долей. Нужно обязательно сравнить его с общим числом клеток фигуры.
На схеме показаны подсчёт клеток и полученные доли.
Ответ записываем словами, как требуется в начальной школе: половина первой фигуры и четверть второй фигуры.
В виде дроби для первой фигуры получаем 6/12. Делим числитель и знаменатель на 6 и получаем 1/2.
Для второй фигуры отношение закрашенной площади ко всей равно 4/16. Делим оба числа на 4 и получаем 1/4.
Шаг 3. В первой фигуре незакрашено также 6 клеток, то есть вторая половина. Во второй незакрашено 12 клеток, или три четверти.
Подсчёт остаётся верным независимо от расположения закрашенных клеток: важны одинаковый размер клеток и их количество.
Закрашенные части сравниваем при одинаковом целом: две четверти равны одной второй, поэтому половина состоит из двух четвертей.
Первая закрашенная доля в два раза больше второй: 1/2 = 2/4, а 2/4 в два раза больше 1/4.
Следовательно, сравнение долей выполнено при одном и том же целом.
Доли сравниваются при одинаковом целом, изображённом каждой фигурой.
Вычисли:
31 010 - (5 000 - 3 774);
(4 000 - 500 : 100) · 10.
31 010 - (5 000 - 3 774) = 29 784;
(4 000 - 500 : 100) · 10 = 39 950.
Пояснения
Шаг 1. В первом выражении начинаем со скобок. Полное действие: 5 000 - 3 774 = 1 226.
В единицах занимаем через два нулевых разряда: 10 - 4 = 6. В десятках после займа 9 - 7 = 2, в сотнях 9 - 7 = 2, в тысячах 4 - 3 = 1.
Подставляем результат скобок. Полное действие: 31 010 - 1 226 = 29 784.
Единицы: из 0 нельзя вычесть 6, поэтому 10 - 6 = 4. В десятках после займа из 0 нельзя вычесть 2, занимаем сотню и получаем 10 - 2 = 8.
В сотнях после займа из 9 вычитаем 2 и получаем 7. В тысячах из 0 нельзя вычесть 1, занимаем десяток тысяч: 10 - 1 = 9. В старшем разряде остаётся 2.
Первое выражение равно 29 784. Проверка внешнего вычитания: 29 784 + 1 226 = 31 010.
Во втором выражении внутри скобок сначала выполняем деление, потому что оно сильнее вычитания: 500 : 100 = 5.
Затем выполняем вычитание в скобках: 4 000 - 5 = 3 995.
После закрытия скобок умножаем на 10: 3 995 · 10 = 39 950.
При умножении натурального числа на 10 его цифры сдвигаются на один разряд влево, а справа записывается ноль.
Проверяем обратным делением: 39 950 : 10 = 3 995.
Проверяем внутреннее вычитание первого выражения: 1 226 + 3 774 = 5 000.
Порядок второго выражения записывается цепочкой: (4 000 - 500 : 100) · 10 = (4 000 - 5) · 10 = 3 995 · 10 = 39 950.
Ребус. Восстанови пропущенные цифры в письменном вычитании.
394 - 285 = 109.
Пояснения
Шаг 1. Начинаем с разряда единиц. В уменьшаемом стоит 4, в разности 9. Без заимствования получить 9 нельзя.
Занимаем один десяток: вместо 4 единиц получаем 14 единиц.
Ищем цифру единиц вычитаемого: 14 - □ = 9. Неизвестная цифра равна 14 - 9 = 5.
Переходим к десяткам. В разности стоит 0, а в вычитаемом 8 десятков. Один десяток уже был занят для единиц.
Чтобы после вычитания 8 десятков и учёта займа получить 0 десятков, в уменьшаемом должно быть 9 десятков: 9 - 1 - 8 = 0.
В пустую клетку десятков уменьшаемого записываем цифру 9. Получается число 394.
В сотнях уменьшаемого 3, в разности 1. Заимствования из сотен не было, поэтому 3 - □ = 1.
Неизвестная цифра сотен вычитаемого равна 2. Получаем число 285.
Полностью восстановленное действие: 394 - 285 = 109.
Проверяем сложением: 285 + 109 = 394.
Проверяем по разрядам: 14 - 5 = 9 единиц; после займа 8 - 8 = 0 десятков; 3 - 2 = 1 сотня.
Все три пропуска определены однозначно: 9 в уменьшаемом, 2 и 5 в вычитаемом.
Можно найти вычитаемое целиком по связи компонентов: 394 - 109 = 285. Это совпадает с цифрами, восстановленными по разрядам.
Обратная проверка 109 + 285 = 394 показывает, что ни один из пропусков не допускает другой цифры.
Разрядная проверка восстановленной записи: 14 - 5 = 9 единиц, после займа 8 - 8 = 0 десятков, 3 - 2 = 1 сотня. Получаем 394 - 285 = 109.