ГДЗ Математика 4 класс Моро учебник 1 часть — страница 60

Шаг 1. Для устных сумм переставляем и объединяем слагаемые так, чтобы получать круглые числа. Переместительное и сочетательное свойства не изменяют сумму.

В первой сумме числа 2 и 98 дополняют друг друга до 100: 2 + 98 = 100.

Числа 96 и 904 дают круглую тысячу: 96 + 904 = 1 000.

Складываем две полученные части: 100 + 1 000 = 1 100.

Во второй сумме объединяем 257 и 3: 257 + 3 = 260.

Затем 18 + 12 = 30. Оставшееся слагаемое равно 40.

Удобно сложить 260 + 40 = 300, затем 300 + 30 = 330.

В третьей сумме 48 + 52 = 100, а 530 + 70 = 600.

Получаем 100 + 600 = 700.

В четвёртой сумме крайние числа дают 33 + 37 = 70, а следующая пара - 34 + 36 = 70.

Среднее число 35 остаётся без пары. Складываем 70 + 70 + 35 = 140 + 35 = 175.

Теперь объясняем письменное сложение. Полное действие: 3 126 + 4 292 = 7 418.

Числа записаны разряд под разрядом. Единицы: 6 + 2 = 8.

Десятки: 2 + 9 = 11. Пишем 1 десяток, а 1 сотню переносим над разрядом сотен.

Сотни: 1 + 2 + 1 перенесённая сотня = 4 сотни.

Тысячи: 3 + 4 = 7. Получаем 7 418.

Проверяем сложение вычитанием: 7 418 - 4 292 = 3 126.

Шаг 2. Объясняем письменное вычитание. Полное действие: 25 346 - 3 407 = 21 939.

Из 6 единиц нельзя вычесть 7, поэтому занимаем один десяток: 16 - 7 = 9. Над разрядом отмечаем заимствование.

После займа осталось 3 десятка. Вычитаем 3 - 0 = 3.

Из 3 сотен нельзя вычесть 4 сотни. Занимаем одну тысячу: 13 - 4 = 9 сотен.

В разряде тысяч осталось 4. Вычитаем 4 - 3 = 1 тысяча.

Сносим 2 десятка тысяч. Разность равна 21 939.

Проверяем вычитание сложением: 21 939 + 3 407 = 25 346.

Устные примеры решены группировкой, а письменные - поразрядно. В каждом случае выбран способ, уменьшающий риск ошибки.

Разберём, почему в первой устной сумме выгодно менять порядок слагаемых. Если складывать числа подряд, появляются промежуточные некруглые результаты. Пары 2 и 98, 96 и 904 сразу дают 100 и 1 000, после чего остаётся простое сложение круглых чисел.

Во второй сумме можно объединить числа и иначе: 257 + 3 = 260, 40 + 30 = 70, затем 260 + 70 = 330. Результат не зависит от выбранной группировки.

Для третьей суммы проверяем разрядный состав: 48 + 52 содержит ровно 10 десятков, а 530 + 70 содержит 60 десятков. Всего 70 десятков, то есть 700.

Четвёртая сумма состоит из пяти последовательных чисел. Две пары, одинаково удалённые от среднего числа 35, имеют сумму 70. Поэтому 70 + 35 + 70 = 175.

В письменном сложении сначала подписываем 4 292 под числом 3 126 так, чтобы цифры 2 и 6 оказались в разряде единиц. Такое выравнивание сохраняется во всех остальных разрядах.

Единственный перенос в сложении возникает при сложении десятков. Полученную сотню нельзя записывать в строке ответа как десяток: её учитываем именно над столбцом сотен.

После учёта переноса проверяем разрядную сумму отдельно: 3 000 + 4 000 = 7 000, 100 + 200 = 300, 20 + 90 = 110, 6 + 2 = 8. Всего 7 418.

В письменном вычитании справа налево получаем цифры 9, 3, 9, 1 и 2. Читаем их в обратном направлении как число 21 939.

Цепочка разрядных вычислений для разности выглядит так: 16 - 7 = 9, 3 - 0 = 3, 13 - 4 = 9, 4 - 3 = 1, 2 - 0 = 2.

Две обратные проверки подтверждают и сами ответы, и правильность переносов с заимствованиями. Если хотя бы одна проверка не возвращает исходное число, письменное действие нужно пересчитать.

Шаг 1. Буквы b, c, a и k могут обозначать любые числа. Каждое равенство формулирует правило, верное при любом допустимом значении буквы.

В записи b + 0 = b к числу прибавляют ноль. Ноль не добавляет ни одной единицы, поэтому остаётся исходное число.

Например, при b = 27 получаем 27 + 0 = 27.

В записи 0 + c = c число прибавляют к нулю. Результат снова равен этому числу.

Например, если c = 54, то 0 + 54 = 54. Это также подтверждается переместительным свойством: 0 + c = c + 0.

В равенстве a - 0 = a из числа вычитают ноль. Ни одна единица не удаляется, поэтому число сохраняется.

Шаг 2. При a = 19 получаем 19 - 0 = 19.

В записи k - k = 0 из числа вычитают все его единицы, поэтому ничего не остаётся.

Например, 83 - 83 = 0.

Первые три правила сохраняют исходное число, а последнее даёт ноль.

Нельзя путать k - k с k - 0: в первом случае вычитают всё число, во втором - ничего.

Записи в рамках являются общими буквенными равенствами, а числовые примеры только показывают их применение.

Шаг 1. При письменных действиях выравниваем числа по правому краю: единицы под единицами, десятки под десятками и далее. После каждого результата выполняем обратное действие.

528 047 + 106 875 = 634 922. Единицы: 7 + 5 = 12, пишем 2 и переносим 1 десяток. Десятки: 4 + 7 + 1 = 12, пишем 2 и переносим сотню. Сотни: 0 + 8 + 1 = 9. Тысячи: 8 + 6 = 14, пишем 4 и переносим десяток тысяч. Далее 2 + 0 + 1 = 3 и 5 + 1 = 6.

Проверяем первую сумму: 634 922 - 106 875 = 528 047. При вычитании разрядные заимствования возвращают первое слагаемое.

385 746 + 23 352 = 409 098. Единицы: 6 + 2 = 8. Десятки: 4 + 5 = 9. Сотни: 7 + 3 = 10, пишем 0 и переносим тысячу. Тысячи: 5 + 3 + 1 = 9. Десятки тысяч: 8 + 2 = 10, пишем 0 и переносим сотню тысяч. Получаем 409 098.

Проверяем вторую сумму: 409 098 - 23 352 = 385 746.

Шаг 2. 680 708 + 21 926 = 702 634. Единицы: 8 + 6 = 14, пишем 4 и переносим десяток. Десятки: 0 + 2 + 1 = 3. Сотни: 7 + 9 = 16, пишем 6 и переносим тысячу. Тысячи: 0 + 1 + 1 = 2. Десятки тысяч: 8 + 2 = 10, перенос образует 7 сотен тысяч.

Проверяем третью сумму: 702 634 - 21 926 = 680 708.

320 260 - 21 476 = 298 784. Заимствование начинается в единицах: 10 - 6 = 4. Затем 15 - 7 = 8 десятков, 11 - 4 = 7 сотен, 9 - 1 = 8 тысяч, 11 - 2 = 9 десятков тысяч, в сотнях тысяч остаётся 2.

Проверяем первую разность: 298 784 + 21 476 = 320 260.

Шаг 3. 605 209 - 353 672 = 251 537. Из 9 вычитаем 2 и получаем 7. Для десятков занимаем через нулевой разряд: 10 - 7 = 3, в сотнях остаётся 1; из 1 нельзя вычесть 6, занимаем тысячу и получаем 11 - 6 = 5. Далее 4 - 3 = 1, 10 - 5 = 5 и 5 - 3 = 2.

Проверяем вторую разность: 251 537 + 353 672 = 605 209.

Шаг 4. 304 506 - 91 358 = 213 148. Для единиц занимаем десяток через разряд сотен: 16 - 8 = 8. В десятках после займа остаётся 9: 9 - 5 = 4. В сотнях осталось 4: 4 - 3 = 1. Тысячи: 4 - 1 = 3. В десятках тысяч занимаем одну сотню тысяч: 10 - 9 = 1. В сотнях тысяч остаётся 2. Получаем 213 148.

Проверяем третью разность: 213 148 + 91 358 = 304 506.

Сложение проверяем вычитанием одного из слагаемых из суммы. Если получаем другое слагаемое, действие выполнено верно.

Вычитание проверяем сложением разности и вычитаемого. Полученная сумма должна совпасть с уменьшаемым.

Особенно внимательно сохраняем нули внутри результатов 409 098 и 702 634: ноль удерживает разряд и не может быть пропущен.

В примерах 320 260 - 21 476 и 304 506 - 91 358 заимствование проходит через нулевые разряды. Точки стоят над теми разрядами, из которых занимали.

При проверке важно брать именно результат исходного действия: для суммы из неё вычитаем одно слагаемое, а к разности прибавляем вычитаемое. Так каждая проверка восстанавливает отсутствующее исходное число.

Совпадение всех шести восстановленных чисел показывает, что результаты и разрядные переходы выполнены согласованно.

Итоговые записи с проверками по порядку:
528 047 + 106 875 = 634 922; 634 922 - 106 875 = 528 047.
385 746 + 23 352 = 409 098; 409 098 - 23 352 = 385 746.
680 708 + 21 926 = 702 634; 702 634 - 21 926 = 680 708.
320 260 - 21 476 = 298 784; 298 784 + 21 476 = 320 260.
605 209 - 353 672 = 251 537; 251 537 + 353 672 = 605 209.
304 506 - 91 358 = 213 148; 213 148 + 91 358 = 304 506.

В первой сумме перенос возникает из единиц, десятков и тысяч. Во второй сумме переносы создают нули в разрядах сотен и десятков тысяч. В третьей сумме переносы дают цифры 2 в тысячах и 7 в сотнях тысяч.

При вычитании 320 260 - 21 476 заимствование проходит через ноль в разряде единиц. В 605 209 - 353 672 заимствование требуется в десятках, сотнях и десятках тысяч. В 304 506 - 91 358 единица занимается через нулевые десятки. Каждая проверка возвращает уменьшаемое.

Шаг 1. Составляем краткое условие. Семьи разделены на две группы, потому что число человек в семье различается.

Находим число участников из 18 семей. В каждой семье 3 человека: 3 · 18 = 54 человека.

Находим число участников из 16 семей. В каждой семье 4 человека: 4 · 16 = 64 человека.

Шаг 2. Обе группы участвовали в одних соревнованиях, поэтому складываем их численность: 54 + 64 = 118 человек.

Решение одним выражением: 3 · 18 + 4 · 16 = 118.

В выражении сначала выполняются два умножения, затем сложение результатов.

Проверяем вычисления: 18 · 3 = 18 + 18 + 18 = 54; 16 · 4 = 64.

Проверяем сумму: 54 + 64 = 54 + 60 + 4 = 118.

Шаг 3. Нельзя складывать только количество семей 18 + 16, потому что спрашивается число людей, а семьи имеют разный состав.

Шаг 4. Число 118 относится ко всем участникам из обеих групп.

Умножение 3 · 18 можно понимать как 18 групп по 3 человека: 3 + 3 + 3 и так далее 18 раз. Удобнее вычислить 18 · 3 = 20 · 3 - 2 · 3 = 60 - 6 = 54.

Произведение 4 · 16 вычисляем разложением числа 16: 4 · (10 + 6) = 40 + 24 = 64.

Шаг 5. После первых двух действий получены величины одного вида - количество человек. Поэтому их можно складывать.

Контрольная оценка: 18 семей по 3 человека дают немного больше 50 участников, а 16 семей по 4 человека - немного больше 60. Итог 118 соответствует этой оценке.

Единицу измерения указываем в каждом действии: произведения показывают людей в отдельных группах, сумма показывает всех участников соревнований.

Шаг 1. Составляем условие: одна часть книг выдана, другая осталась, а их сумма показывает первоначальное количество.

Осталось на 246 книг меньше, чем выдали. Слова «на меньше» требуют вычитания.

Находим остаток: 327 - 246 = 81 книга.

Проверяем сравнение: 327 - 81 = 246, значит, оставшаяся часть действительно меньше выданной на 246 книг.

Шаг 2. Первоначально в библиотеке находились и выданные, и оставшиеся книги.

Складываем две части: 327 + 81 = 408 книг.

Проверяем: 408 - 327 = 81 книга осталась после выдачи.

Шаг 3. Решение выражением: 327 + (327 - 246) = 408.

Скобки показывают, что сначала нужно найти оставшуюся часть.

Шаг 4. Нельзя вычитать 246 из общего неизвестного количества: число 246 обозначает разницу между двумя частями, а не число выданных книг.

Ответ 408 показывает количество книг до выдачи школьникам.

Шаг 1. Составляем условие так, чтобы число 100 обозначало целое, а 68 и 14 - две известные части этого целого.

Выбираем понятный сюжет об игрушках: всего 100 предметов, из них 68 мячей и 14 кукол, остальные - машинки.

Вопрос задаём о неизвестной оставшейся части: сколько было машинок.

Шаг 2. Вычитаем известную часть из целого: 100 - 82 = 18 игрушек.

Проверяем: 68 + 14 + 18 = 82 + 18 = 100.

Шаг 3. Сюжет может быть другим, но числа, действия, скобки и смысл «целое минус сумма двух частей» должны сохраниться.

Нельзя сначала вычислить 100 - 68 и затем прибавить 14: это соответствовало бы другому выражению и дало бы неверный смысл.

Шаг 4. Скобки объединяют мячи и куклы в одну известную часть всех игрушек.

Ответ формулируем по вопросу составленной задачи: 18 машинок.

Шаг 1. Прибавить 1 означает назвать следующее натуральное число, а вычесть 1 - предыдущее.

999 + 1 = 1 000: девять единиц превращаются в десяток, затем образуются сотня и тысяча.

1 000 - 1 = 999: одну тысячу размениваем на 10 сотен, затем на десятки и единицы.

Шаг 2. 4 000 - 1 = 3 999. После вычитания одной единицы остаются 3 тысячи, 9 сотен, 9 десятков и 9 единиц.

10 000 - 1 = 9 999.

9 999 + 1 = 10 000: перенос проходит через четыре разряда.

Шаг 3. 99 999 + 1 = 100 000: пять девяток заменяются нулями, а слева появляется новый разряд.

50 000 - 1 = 49 999 и 80 000 - 1 = 79 999.

900 000 - 1 = 899 999: число на единицу меньше круглых девятисот тысяч.

Проверяем пары обратными действиями: 999 + 1 = 1 000 и 1 000 - 1 = 999; 9 999 + 1 = 10 000 и 10 000 - 1 = 9 999.

Шаг 4. При вычитании единицы из круглого числа все нули справа превращаются в девятки, а первая ненулевая цифра уменьшается на один.

При прибавлении единицы к числу, оканчивающемуся девятками, эти девятки превращаются в нули и единица переносится в следующий разряд.

Шаг 5. Все девять вычислений выполняются устно по связи предыдущего и следующего числа.

Дополнительная проверка выполняется прибавлением единицы к каждому найденному предыдущему числу: 3 999 + 1 = 4 000, 49 999 + 1 = 50 000, 899 999 + 1 = 900 000.

Шаг 1. Первое число раскладываем на удобные части: 1 050 = 1 000 + 50.

Вычитаем 50: (1 000 + 50) - 50 = 1 000 + (50 - 50) = 1 000.

Во втором примере складываем 20 тысяч и 8 сотен.

В разрядной записи между ними остаются нулевые тысячи и десятки: 20 000 + 800 = 20 800.

Проверяем разложением: 20 800 = 20 000 + 800.

Для третьего примера замечаем, что 35 840 = 35 000 + 840.

Вычитаем вторую часть: (35 000 + 840) - 840 = 35 000.

Проверяем сложением: 35 000 + 840 = 35 840.

Во всех трёх примерах отделяется удобная разрядная часть: 1 050 = 1 000 + 50, 20 800 = 20 000 + 800, 35 840 = 35 000 + 840. Поэтому ответы равны 1 000, 20 800 и 35 000.