Прочитай текст и запиши цифрами числа. В тысяча девятьсот пятьдесят третьем году в Антарктике был обнаружен айсберг длиной сто сорок пять тысяч метров, шириной сорок тысяч метров.
1953 год; 145 000 м; 40 000 м.
Пояснения
Шаг 1. Выделяем три числа, записанные словами: год, длину и ширину айсберга.
Число «тысяча девятьсот пятьдесят три» содержит 1 тысячу, 9 сотен, 5 десятков и 3 единицы. Записываем 1953.
Проверяем чтением справа налево по разрядам: 3 единицы, 5 десятков, 9 сотен и 1 тысяча.
В числе «сто сорок пять тысяч» класс тысяч содержит 145 единиц, а в классе единиц нет ни сотен, ни десятков, ни единиц.
После 145 записываем три нуля: 145 000. Пробел отделяет класс тысяч и облегчает чтение.
Число «сорок тысяч» содержит 40 единиц класса тысяч и 0 единиц класса единиц, поэтому записывается 40 000.
Шаг 2. Длину и ширину сопровождаем единицей измерения «м», а год записываем словом «год» или сокращением «г.».
Не смешиваем 1953 с размером айсберга: это календарный год, а два следующих числа обозначают метры.
Проверяем обратным чтением: 1953 - тысяча девятьсот пятьдесят три; 145 000 - сто сорок пять тысяч; 40 000 - сорок тысяч.
Нули в 145 000 и 40 000 обязательны: без них получились бы числа 145 и 40, которые в тысячу раз меньше.
В классе единиц каждого размера стоят три нуля, потому что после слова «тысяч» дополнительные единицы не названы.
Итоговая запись сохраняет порядок появления чисел в тексте: сначала год, затем длина, затем ширина.
Высота надводной части айсберга 30 м, это восьмая часть всей его высоты. На какую глубину айсберг уходит под воду?
Первый способ
1) 30 · 8 = 240 (м) - вся высота.
2) 240 - 30 = 210 (м) - под водой.
Второй способ
1) 8 - 1 = 7 (частей) - под водой.
2) 30 · 7 = 210 (м).
Ответ: айсберг уходит под воду на 210 м.
Пояснения
Шаг 1. Представляем всю высоту айсберга в виде восьми одинаковых частей. Над водой находится одна такая часть высотой 30 м, остальные части скрыты под водой.
Первый способ начинается с нахождения целого. Если одна восьмая равна 30 м, то восемь восьмых равны 30 · 8 = 240 м.
Высота 240 м включает и надводную, и подводную части. Вычитаем видимые 30 м: 240 - 30 = 210 м.
Проверяем: 30 + 210 = 240 м. Полученная сумма совпадает с полной высотой.
Шаг 2. Второй способ находит число частей под водой напрямую. Из восьми равных частей одна находится над водой: 8 - 1 = 7 частей.
Каждая часть имеет высоту 30 м, поэтому семь подводных частей составляют 30 · 7 = 210 м.
Оба способа дают один результат: 30 · 8 - 30 = 30 · (8 - 1) = 210.
Слово «восьмая часть» не означает деление 30 на 8. Число 30 уже обозначает одну часть, а требуется восстановить целое или семь оставшихся частей.
Шаг 3. Глубину измеряем от поверхности воды до нижней точки айсберга, поэтому надводные 30 м в ответ не входят.
Полная высота больше подводной на 30 м: 240 - 210 = 30 м, что совпадает с условием.
Подводная часть в 7 раз выше надводной, потому что состоит из семи равных долей против одной.
Ответ формулируем как глубину под водой - 210 м, а 240 м оставляем промежуточной полной высотой.
Шаг 4. Первый способ удобен, когда нужно сначала восстановить целое; второй короче, потому что сразу считает оставшиеся семь долей.
При любой схеме доли должны быть одинаковыми. Поэтому все восемь частей на рисунке мысленно имеют одну высоту 30 м.
Сравниваем части: под водой находится семь восьмых всей высоты, а над водой - одна восьмая. Вместе 7/8 + 1/8 дают целый айсберг.
Школьники пошли на экскурсию в Музей космонавтики в 11 ч. Дорога до музея и обратно заняла 1 ч, осмотр музея - 1 ч 10 мин. Когда школьники возвратились?
1) 1 ч + 1 ч 10 мин = 2 ч 10 мин - вся экскурсия.
2) 11 ч + 2 ч 10 мин = 13 ч 10 мин.
Ответ: школьники вернулись в 13 ч 10 мин.
Пояснения
Шаг 1. Составляем краткую запись: начало - 11:00; дорога туда и обратно вместе - 1 ч; осмотр - 1 ч 10 мин; окончание неизвестно.
Общая продолжительность складывается из времени в дороге и времени в музее.
Складываем часы отдельно от минут: 1 ч + 1 ч 10 мин = 2 ч 10 мин.
Минут получилось меньше 60, поэтому переводить их в дополнительный час не нужно.
Шаг 2. Прибавляем продолжительность к времени начала: 11 ч + 2 ч = 13 ч, затем добавляем 10 мин.
Получаем 13 ч 10 мин.
Можно прибавлять по частям: после одного часа дороги будет 12:00, после ещё одного часа осмотра - 13:00, после 10 минут - 13:10.
Проверяем вычитанием: от 13:10 до 11:00 проходит 2 ч 10 мин.
Шаг 3. В условии один час уже включает дорогу в обе стороны, поэтому умножать его на 2 нельзя.
Ответ должен содержать момент времени, а не только длительность экскурсии.
Запись 13 ч 10 мин соответствует 13:10 на электронных часах.
Шаг 4. Перехода через полночь нет, поэтому дата возвращения остаётся той же.
Если бы сложение минут дало 60 или больше, потребовался бы перевод в часы; здесь 10 минут остаются без изменения.
Все данные использованы один раз: час дороги, час и десять минут осмотра и время начала 11 часов.
Бегемот может съесть за день 60 кг травы, а слон - 300 кг. Сколько тонн травы требуется бегемоту и слону на 10 дней? Сколькими способами можно решить задачу?
Первый способ
1) 60 + 300 = 360 (кг) - вместе за день.
2) 360 · 10 = 3 600 (кг).
3 600 кг = 3 т 600 кг.
Второй способ
1) 60 · 10 = 600 (кг) - бегемоту.
2) 300 · 10 = 3 000 (кг) - слону.
3) 600 + 3 000 = 3 600 (кг).
3 600 кг = 3 т 600 кг.
Ответ: 3 т 600 кг; два способа.
Пояснения
Шаг 1. Составляем таблицу: для каждого животного известен расход за один день, период равен десяти дням.
| Животное | За 1 день | За 10 дней |
|---|---|---|
| Бегемот | 60 кг | 600 кг |
| Слон | 300 кг | 3 000 кг |
| Вместе | 360 кг | 3 600 кг |
Первый способ: сначала объединяем суточный расход. 60 + 300 = 360 кг травы съедают оба животных за день.
За десять одинаковых дней потребуется 360 · 10 = 3 600 кг.
Переводим массу: 1 т = 1 000 кг. В 3 600 кг содержатся 3 полные тонны и ещё 600 кг.
Шаг 2. Получаем 3 600 кг = 3 т 600 кг.
Второй способ: отдельно считаем корм бегемота за весь период: 60 · 10 = 600 кг.
Отдельно считаем корм слона: 300 · 10 = 3 000 кг, или 3 т.
Складываем расходы двух животных: 600 + 3 000 = 3 600 кг = 3 т 600 кг.
Шаг 3. Первый способ записывается выражением (60 + 300) · 10.
Второй способ записывается выражением 60 · 10 + 300 · 10.
Равенство способов следует из распределительного свойства: (60 + 300) · 10 = 60 · 10 + 300 · 10.
Проверяем по дням: 3 600 : 10 = 360 кг за день, а 360 - 300 = 60 кг приходится на бегемота.
Шаг 4. Не переводим 3 600 кг только как 3 т: после выделения трёх тысяч остаются ещё 600 кг.
Число 10 одинаково для обоих животных, поэтому допустимо вынести его за скобки или умножить каждый суточный расход отдельно.
Шаг 5. Ответ относится к общему запасу для бегемота и слона на все десять дней.
Если распределять корм ежедневно, нужно выдавать 360 кг в сутки; за десять выдач весь запас будет израсходован.
Масса корма слона в пять раз больше массы корма бегемота: 300 : 60 = 5. За десять дней отношение сохраняется: 3 000 : 600 = 5.
Шаг 6. Сумма 600 кг и 3 000 кг показывает, что все части общего расхода учтены без повторения.
Число 360 кг обозначает одну суточную порцию сразу для двух животных: 60 кг для бегемота и 300 кг для слона.
Одинаковая суточная порция повторяется десять раз. Умножение 360 · 10 заменяет сумму десяти слагаемых по 360 кг.
Шаг 7. Во втором способе десять раз повторяется каждая часть отдельно: десять порций по 60 кг и десять порций по 300 кг.
После отдельных вычислений части снова объединяются. Поэтому 600 кг и 3 000 кг относятся к одному периоду и их можно сложить.
Проверяем перевод: 3 т 600 кг = 3 · 1 000 кг + 600 кг = 3 600 кг.
Шаг 8. В 4 классе удобнее составная запись 3 т 600 кг: она показывает полные тонны и оставшиеся килограммы.
Оценка результата: слону одному требуется 3 т, значит, общий запас обязан быть больше 3 т. Ответ 3 т 600 кг этому соответствует.
Общий запас меньше 4 т: ежедневный расход 360 кг меньше 400 кг, а 400 · 10 = 4 000 кг.
Два велосипедиста выехали из двух пунктов навстречу друг другу. Когда первый проехал 1 км 180 м, второй проехал 820 м. На какое расстояние они сблизились?
1 км 180 м = 1 180 м.
1 180 + 820 = 2 000 (м).
2 000 м = 2 км.
Ответ: велосипедисты сблизились на 2 км.
Пояснения
Шаг 1. Изображаем встречное движение: каждый велосипедист сокращает расстояние между ними на длину своего пути.
Приводим пути к одинаковым единицам. Один километр равен 1 000 м, поэтому 1 км 180 м = 1 000 м + 180 м = 1 180 м.
При движении навстречу расстояние между велосипедистами уменьшается на сумму пройденных ими путей.
Складываем: 1 180 + 820 = 2 000 м.
Шаг 2. Переводим результат в километры: 2 000 : 1 000 = 2 км.
Проверяем сложение по частям: 1 180 + 800 = 1 980; 1 980 + 20 = 2 000.
Можно заметить дополнение до двух тысяч: от 1 180 до 2 000 не хватает ровно 820.
Начальное расстояние между пунктами для ответа не требуется: вопрос спрашивает, насколько оно уменьшилось, а не сколько осталось.
Шаг 3. Если бы велосипедисты ехали в одном направлении, пути пришлось бы вычитать. Здесь сказано «навстречу», поэтому складываем.
Оба пути относятся к одному и тому же промежутку движения, поэтому их можно объединить.
Ответ в километрах удобен, но промежуточное сложение выполняем в метрах.
Проверяем единицы: сумма метров даёт метры, после чего ровно 2 000 м заменяем двумя километрами.
Шаг 4. Сближение на 2 км означает, что расстояние между велосипедистами стало на 2 км меньше первоначального.
Краткая запись решения: 1 км 180 м + 820 м = 2 км. Развёрнутый перевод показывает, почему равенство верно.
Сумма пройденных расстояний равна общему сближению велосипедистов.
Спиши, заполняя пропуски:
700 дм2 = □ м2; 30 см2 = □ мм2; 8 дм2 = □ см2;
1 437 см2 = □ дм2 □ см2; 2 415 мм2 = □ см2 □ мм2; 46 030 дм2 = □ м2 □ дм2.
700 дм2 = 7 м2; 30 см2 = 3 000 мм2; 8 дм2 = 800 см2;
1 437 см2 = 14 дм2 37 см2; 2 415 мм2 = 24 см2 15 мм2; 46 030 дм2 = 460 м2 30 дм2.
Пояснения
Шаг 1. Используем соотношения площадей: 1 м² = 100 дм², 1 дм² = 100 см², 1 см² = 100 мм².
700 дм² : 100 = 7 м².
30 см² · 100 = 3 000 мм², потому что переходим к более мелким квадратным единицам.
8 дм² · 100 = 800 см².
Для составной записи делим 1 437 см² на 100 с остатком: 1 437 : 100 = 14 (ост. 37).
Поэтому 1 437 см² = 14 дм² 37 см².
Делим 2 415 мм² на 100: получаем 24 полных см² и остаток 15 мм².
Записываем 2 415 мм² = 24 см² 15 мм².
Шаг 2. Делим 46 030 дм² на 100: частное 460, остаток 30.
Следовательно, 46 030 дм² = 460 м² 30 дм².
Проверяем обратным переводом: 14 · 100 + 37 = 1 437; 24 · 100 + 15 = 2 415; 460 · 100 + 30 = 46 030.
При переходе между соседними квадратными единицами используем 100, а не 10, потому что изменяются обе стороны квадрата.
Остаток в составной записи всегда меньше 100 единиц меньшего наименования.
Нули в числах 3 000 и 46 030 сохраняют разряды и не могут быть опущены.
Все пропуски заполнены числами, после которых стоят предусмотренные в задании единицы площади.
Обратный перевод подтверждает каждое равенство площадей и правильность остатка меньших единиц.
Подбери числа так, чтобы можно было найти значения выражений, и выполни действия:
570 - (□ + □); □ + □ - 320; 1 000 - (□ - □) · □;
1 000 - (□ + □) : □; 490 - (□ - □); 540 - □ · □.
570 2- (40 1+ 30) = 500;
200 1+ 120 2- 320 = 0;
1 000 3- (100 1- 50) 2· 2 = 900;
1 000 3- (1 1+ 5) 2: 6 = 999;
490 2- (45 1- 5) = 450;
540 2- 2 1· 20 = 500.
Пояснения
Шаг 1. Возможны разные наборы чисел. Подбираем один удобный вариант, при котором действия выполняются в натуральных числах.
В первом выражении сумма в скобках не должна превышать 570. Выбираем 40 и 30: 40 + 30 = 70.
Вычитаем: 570 - 70 = 500.
Во втором выражении выбираем 200 и 120. Сначала 200 + 120 = 320, затем 320 - 320 = 0.
В третьем выражении берём 100, 50 и 2. Разность в скобках равна 50.
Умножаем 50 · 2 = 100 и вычисляем 1 000 - 100 = 900.
В четвёртом выражении сумма в скобках должна делиться на выбранный делитель. Берём 1 + 5 = 6 и делитель 6.
Получаем 6 : 6 = 1, затем 1 000 - 1 = 999.
В пятом выражении выбираем 45 и 5: 45 - 5 = 40, после чего 490 - 40 = 450.
В шестом выражении произведение должно быть не больше 540. Берём 2 и 20: 2 · 20 = 40.
Вычитаем 540 - 40 = 500.
Шаг 2. Синие номера над знаками показывают порядок действий в каждом выражении.
В выражениях со скобками сначала работаем внутри скобок. Умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания.
Для второго выражения сложение и вычитание выполняем слева направо, потому что эти действия имеют одинаковый порядок.
Подобранные числа не единственные. Например, в первом выражении подойдут любые неотрицательные числа с суммой не больше 570.
Для деления важно получить целое частное: выбранная сумма 6 делится на 6 без остатка.
Проверяем все значения подстановкой: каждое выражение после заполнения содержит только известные числа и имеет определённый результат.
Ни в одном примере промежуточное число не становится отрицательным, поэтому вычисления соответствуют изученным правилам.
Итоговые значения по порядку: 500, 0, 900, 999, 450, 500.
В тетради каждый пример записываем отдельно, сохраняя скобки и выбранные числа.
Сумма в первом примере может быть равна 570, тогда результат будет нулём, но не должна быть больше 570 при вычислениях в натуральных числах.
Во втором примере сумма двух первых чисел должна быть не меньше 320. Наш выбор даёт ровно 320, поэтому разность равна нулю.
Шаг 3. В третьем примере сначала нужна неотрицательная разность. Её произведение на третий множитель не должно превосходить 1 000.
Наши числа подходят: 100 - 50 = 50 и 50 · 2 = 100, причём 100 < 1 000.
В четвёртом примере делитель не может быть равен нулю, а сумма в скобках должна делиться на него без остатка.
Выбор 1, 5 и 6 удобен: сумма совпадает с делителем, частное равно единице.
В пятом примере уменьшаемое в скобках выбираем не меньше вычитаемого, а полученная разность не должна превышать 490.
В шестом примере произведение множителей не должно быть больше 540. Наше произведение 40 оставляет круглую разность 500.
Другой допустимый вариант: 540 - 4 · 10 = 500. Значит, подбор действительно может иметь несколько правильных решений.
Цель задания - показать понимание порядка действий и выбрать числа, при которых все промежуточные вычисления допустимы.
После подбора обязательно вычисляем итог, иначе заполненные клетки ещё не образуют завершённый ответ.
Мы заменили только пустые клетки и сохранили все исходные знаки, скобки и структуру выражений.
Какие единицы используют для измерения длины, площади, времени и массы? Назови их от самой маленькой известной единицы до самой большой.
| Величина | Единицы от меньшей к большей |
|---|---|
| Длина | мм, см, дм, м, км |
| Площадь | мм², см², дм², м², км² |
| Время | с, мин, ч, сутки, неделя, месяц, год, век |
| Масса | г, кг, ц, т |
Пояснения
Шаг 1. Длина характеризует протяжённость. Основные единицы по возрастанию: миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр.
Связи длины: 10 мм = 1 см, 10 см = 1 дм, 10 дм = 1 м, 1 000 м = 1 км.
Площадь показывает размер части плоскости. Единицы: мм², см², дм², м², км².
Соседние квадратные единицы обычно отличаются в 100 раз: 100 мм² = 1 см², 100 см² = 1 дм², 100 дм² = 1 м².
Один квадратный километр равен 1 000 000 м², потому что 1 км = 1 000 м и 1 000 · 1 000 = 1 000 000.
Шаг 2. Время измеряют секундами, минутами, часами, сутками, неделями, месяцами, годами и веками.
Связи времени неодинаковы: 60 с = 1 мин, 60 мин = 1 ч, 24 ч = 1 сутки, 7 суток = 1 неделя.
В месяце бывает 28, 29, 30 или 31 сутки; в году 12 месяцев и 365 либо 366 суток.
Один век равен 100 годам.
Шаг 3. Массу измеряют граммами, килограммами, центнерами и тоннами.
Связи массы: 1 000 г = 1 кг, 100 кг = 1 ц, 1 000 кг = 1 т, поэтому 10 ц = 1 т.
В каждом ряду единицы расположены от меньшей к большей, но коэффициенты перехода зависят от вида величины.
Нельзя смешивать единицы разных величин: метр не сравнивают с килограммом, а квадратный метр не заменяют обычным метром.
Шаг 4. Выбор единицы зависит от объекта: толщину измеряют миллиметрами, дорогу километрами, комнату квадратными метрами, а массу груза тоннами.
Полные названия и сокращения обозначают одни и те же единицы, но в записи величины после числа обычно используют сокращение.
Связь между соседними единицами каждой величины проверена обратным переводом.
Единицы перечисляются по возрастанию внутри каждой величины: от миллиметра до километра, от квадратного миллиметра до квадратного километра, от секунды до века, от грамма до тонны.
Зачем нужны различные единицы для измерения одной величины?
Разные единицы нужны, чтобы удобно и понятно измерять маленькие и большие величины, сравнивать их и выполнять вычисления.
Пояснения
Шаг 1. Одна и та же величина может иметь очень разные размеры. Для массы крупинки удобны граммы, для человека - килограммы, для автомобиля - тонны.
Если записать массу автомобиля только в граммах, получится слишком большое число. Например, 1 000 000 г = 1 000 кг = 1 т.
Крупная единица делает запись короче и понятнее: вместо одного миллиона граммов можно сказать «одна тонна».
Мелкая единица нужна для точности. Массу небольшого количества продукта удобнее указать как 5 г, а не 0,005 кг.
То же относится к длине: толщину листа измеряют миллиметрами, рост - сантиметрами, расстояние между городами - километрами.
Шаг 2. Для площади тетрадного листа подходят квадратные сантиметры, для комнаты - квадратные метры, для территории страны - квадратные километры.
Единицы времени тоже выбирают по длительности: секунды для короткого действия, минуты и часы для занятия, годы и века для истории.
Перед сложением, вычитанием или сравнением величины приводят к одинаковым единицам.
Например, 1 м 20 см + 80 см удобно считать после перевода: 120 см + 80 см = 200 см = 2 м.
Таблицы мер задают точные связи между единицами, поэтому результаты разных людей можно сравнивать.
Шаг 3. На кухне граммы помогают точно отмерять ингредиенты, а килограммы удобны для больших упаковок.
В медицине малые единицы позволяют точно указывать количество вещества; произвольно заменять их крупными без пересчёта нельзя.
В строительстве выбор сантиметров, метров и квадратных метров помогает отдельно описывать длину и площадь.
Разные единицы не меняют саму величину. Записи 1 000 г и 1 кг обозначают одну и ту же массу.
Шаг 4. Переход к другой единице выполняется умножением или делением на установленный коэффициент.
Подходящая единица уменьшает риск ошибки в большом количестве нулей и помогает представить реальный размер.
Итак, система единиц обеспечивает удобство, точность, понятность и единообразие измерений и вычислений.
При ответе важно привести примеры не только массы, но и других величин: длины, площади и времени.
Как можно найти периметр и площадь прямоугольника?
P = a + b + a + b = 2 · a + 2 · b = (a + b) · 2.
S = a · b, где a и b - длины соседних сторон прямоугольника.
Пояснения
Шаг 1. Периметр - длина границы фигуры, поэтому складываем длины всех четырёх сторон прямоугольника.
У прямоугольника противоположные стороны равны: две стороны имеют длину a и две - длину b.
Первый способ: P = a + b + a + b.
Второй способ объединяет равные стороны: P = a · 2 + b · 2.
Шаг 2. Третий способ сначала складывает соседние стороны и удваивает сумму: P = (a + b) · 2.
Все три формулы дают один результат благодаря переместительному и распределительному свойствам.
Периметр измеряют линейными единицами: мм, см, дм, м или км.
Площадь показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри прямоугольника.
Шаг 3. Чтобы найти площадь, длину умножаем на ширину: S = a · b.
Площадь измеряют квадратными единицами: см², дм², м² и другими.
Перед вычислением обе стороны выражаем в одной единице.
Шаг 4. Например, при a = 6 см и b = 4 см периметр равен (6 + 4) · 2 = 20 см, а площадь 6 · 4 = 24 см².
Нельзя путать формулы: сложение сторон даёт длину границы, а умножение соседних сторон - площадь внутренней части.
Если известна только одна сторона, числовые значения периметра и площади прямоугольника найти нельзя; нужны обе соседние стороны.
Найди числа, спрятанные за фигурами:
30 + □ = △
△ - 18 = 50
□ + ◯ = △
△ = 68; □ = 38; ◯ = 30.
30 + 38 = 68;
68 - 18 = 50;
38 + 30 = 68.
Пояснения
Шаг 1. Начинаем со второго равенства, потому что в нём неизвестно только число за треугольником: △ - 18 = 50.
Треугольник обозначает неизвестное уменьшаемое. К разности прибавляем вычитаемое: △ = 50 + 18 = 68.
Подставляем 68 в первое равенство: 30 + □ = 68.
Квадрат обозначает неизвестное слагаемое. Вычитаем известное слагаемое из суммы: □ = 68 - 30 = 38.
Подставляем найденные 38 и 68 в третье равенство: 38 + ◯ = 68.
Круг - неизвестное слагаемое: ◯ = 68 - 38 = 30.
Проверяем первое равенство: 30 + 38 = 68.
Проверяем второе равенство: 68 - 18 = 50.
Проверяем третье равенство: 38 + 30 = 68.
Одна фигура во всех строках обозначает одно и то же число, поэтому найденные значения нельзя менять от равенства к равенству.
Решать удобнее по цепочке: сначала треугольник, затем квадрат, затем круг.
Правильное значение круга - 30.
Все три проверенных равенства истинны, значит, фигуры расшифрованы верно.