В 2008 г., в 2012 г., в 2016 г. и в 2020 г. в феврале было 29 суток, и снова будет столько же, когда пройдёт ещё 4 года. В каком году это будет?
2020 + 4 = 2024 (г.).
Ответ: в 2024 году в феврале было 29 суток.
Пояснения
Шаг 1. Год, в котором февраль содержит 29 суток, называют високосным. По данным условия такие годы повторяются через четыре года.
В последовательности 2008, 2012, 2016, 2020 каждое следующее число больше предыдущего на 4. Это подтверждает указанный промежуток.
Последний названный год - 2020. Прибавляем ещё четыре года: 2020 + 4 = 2024.
Проверяем продолжение ряда: 2008 + 4 = 2012, 2012 + 4 = 2016, 2016 + 4 = 2020, 2020 + 4 = 2024.
Шаг 2. Значит, следующий после 2020 года февраль с 29 сутками приходится на 2024 год.
Для ответа не нужно складывать все названные годы: они показывают закономерность. Достаточно взять последний год ряда и увеличить его на один четырёхлетний промежуток.
Во время летних каникул Юра провёл июнь и июль у бабушки, потом на турбазе 2 смены по 12 дней. Сколько дней у Юры длились каникулы, если до занятий осталась ещё 1 неделя?
В июне 30 дней, в июле 31 день, в неделе 7 дней.
1) 30 + 31 = 61 (д.) - у бабушки.
2) 12 · 2 = 24 (д.) - на турбазе.
3) 61 + 24 + 7 = 92 (д.) - длились каникулы.
Ответ: 92 дня.
Пояснения
Шаг 1. Собираем все промежутки времени из условия. Для месяцев используем число дней, а одну неделю переводим в дни.
| Где был Юра | Сколько времени |
|---|---|
| У бабушки | июнь и июль |
| На турбазе | 2 смены по 12 дней |
| До занятий | 1 неделя = 7 дней |
Июнь является шестым месяцем года и содержит 30 дней. Июль является седьмым месяцем и содержит 31 день.
Находим время у бабушки: 30 + 31 = 61 день. Складываем, потому что Юра провёл там оба месяца полностью.
Шаг 2. На турбазе было две одинаковые смены по 12 дней. Повторяющееся сложение 12 + 12 заменяем умножением: 12 · 2 = 24 дня.
Одна неделя до занятий - это ещё 7 дней каникул. Все три промежутка идут один за другим и не перекрываются.
Складываем продолжительности: 61 + 24 + 7 = 85 + 7 = 92 дня.
Шаг 3. Можно объединить решение в одно выражение: 30 + 31 + 12 · 2 + 7 = 92. Умножение выполняется раньше сложения.
Проверяем по частям: из 92 дней вычитаем 7 дней дома и 24 дня на турбазе, получаем 61 день - ровно июнь и июль вместе.
Шаг 4. Ответ записываем в днях, потому что вопрос просит общее число дней каникул.
Поясним, почему учитываем неделю после турбазы. В условии сказано, что до начала занятий оставалась ещё одна неделя. Значит, эти семь дней тоже входят в каникулы и должны быть прибавлены.
Шаг 5. Нельзя считать только июнь и июль: после них Юра провёл 24 дня на турбазе и ещё 7 дней до занятий. Если пропустить любой из этих промежутков, ответ будет неполным.
Сложение можно выполнить удобной группировкой: 61 + 7 = 68, затем 68 + 24 = 92. Перестановка слагаемых не меняет сумму.
За 6 м ситца заплатили c р., а за 4 м шерстяной ткани - k р. Составь выражение, которое обозначает, на сколько рублей дороже метр шерстяной ткани, чем метр ситца.
k : 4 - c : 6
Пояснения
Шаг 1. В задаче известны общая стоимость и количество метров каждого вида ткани. Сначала нужно найти цену одного метра каждой ткани.
| Ткань | Количество | Общая стоимость | Цена 1 м |
|---|---|---|---|
| Ситец | 6 м | c р. | c : 6 |
| Шерстяная | 4 м | k р. | k : 4 |
Цена одного метра ситца равна общей стоимости ситца, делённой на количество метров: c : 6 рублей.
Цена одного метра шерстяной ткани равна общей стоимости этой ткани, делённой на 4 м: k : 4 рублей.
Вопрос «на сколько дороже» означает разностное сравнение. Из большей цены, то есть цены шерстяной ткани, вычитаем цену ситца.
Подставляем найденные выражения для цен: k : 4 - c : 6. Деления выполняются раньше вычитания.
Буквы c и k обозначают всю сумму денег за купленные отрезы, а не цену одного метра. Поэтому нельзя сразу записывать k - c.
Шаг 2. Первое деление обязательно выполняется на 4, потому что шерстяной ткани купили 4 м. Второе выполняется на 6, потому что ситца купили 6 м.
Проверить смысл можно на подходящих числах. Например, если k = 800, а c = 600, то 800 : 4 - 600 : 6 = 200 - 100 = 100 рублей. Один метр шерстяной ткани дороже на 100 рублей.
Правильное выражение совпадает с кратким ответом: k : 4 - c : 6.
Разберём зависимость величин: цена одного метра · количество метров = общая стоимость. Поэтому обратное действие для цены одного метра имеет вид общая стоимость : количество метров.
Результат выражения измеряется в рублях, потому что из цены одного метра в рублях вычитается другая цена одного метра в рублях.
Фраза «шерстяная ткань дороже» подсказывает порядок вычитания: сначала записываем цену шерстяной ткани k : 4, а после знака минус - цену ситца c : 6.
Обе цены относятся к одному метру ткани, поэтому их можно сравнивать вычитанием.
Найди пропущенные числа.
□ : 8 = 8 (ост. 6); □ : 7 = 106 (ост. 5); □ : 30 = 2 (ост. 20); □ : 57 = 1 (ост. 2).
1) 8 · 8 + 6 = 70; 70 : 8 = 8 (ост. 6).
2) 106 · 7 + 5 = 747; 747 : 7 = 106 (ост. 5).
3) 2 · 30 + 20 = 80; 80 : 30 = 2 (ост. 20).
4) 1 · 57 + 2 = 59; 59 : 57 = 1 (ост. 2).
Ответ: 70, 747, 80, 59.
Пояснения
Шаг 1. Во всех четырёх равенствах пропущено делимое. Известны делитель, неполное частное и остаток.
Чтобы восстановить делимое при делении с остатком, умножаем делитель на частное и прибавляем остаток: делимое = делитель · частное + остаток.
Первое число: 8 · 8 + 6 = 64 + 6 = 70. Остаток 6 меньше делителя 8, поэтому запись допустима.
Второе число: 7 · 106 + 5 = 742 + 5 = 747. Проверка: 747 : 7 = 106 и остаток 5.
Третье число: 30 · 2 + 20 = 60 + 20 = 80. Остаток 20 меньше 30.
Четвёртое число: 57 · 1 + 2 = 57 + 2 = 59. При делении 59 на 57 получается одна полная группа и остаётся 2.
Шаг 2. Порядок вычислений важен: сначала выполняется умножение делителя на частное, затем прибавляется остаток.
Каждый ответ проверяем двумя условиями: обратное деление должно дать указанное частное, а остаток обязательно должен быть меньше делителя.
Шаг 3. Если после умножения забыть прибавить остаток, получим только наибольшее число, которое делится без остатка. Например, 8 · 8 = 64, но искомое делимое на 6 больше и равно 70.
Записываем найденные числа в том же порядке, что и пустые клетки в условии: 70, затем 747, затем 80 и 59.
Вычисли.
23 000 + 25; 18 000 + 350; 37 000 + 480;
7 050 - 7 000; 6 080 - 6 000; 8 090 - 8 040;
69 875 - 800 - 70; 43 546 - 40 000 - 40; 93 648 - 3 000 - 8.
1) 23 000 + 25 = 23 025.
2) 18 000 + 350 = 18 350.
3) 37 000 + 480 = 37 480.
4) 7 050 - 7 000 = 50.
5) 6 080 - 6 000 = 80.
6) 8 090 - 8 040 = 50.
7) 69 875 - 800 - 70 = 69 075 - 70 = 69 005.
8) 43 546 - 40 000 - 40 = 3 546 - 40 = 3 506.
9) 93 648 - 3 000 - 8 = 90 648 - 8 = 90 640.
Пояснения
Шаг 1. В этих примерах удобно смотреть на разряды числа. Тысячи складываем или вычитаем с тысячами, сотни - с сотнями, десятки - с десятками, единицы - с единицами.
| Число | Что меняется |
|---|---|
| 23 000 + 25 | прибавляем 2 десятка и 5 единиц |
| 18 000 + 350 | прибавляем 3 сотни и 5 десятков |
| 37 000 + 480 | прибавляем 4 сотни и 8 десятков |
| 7 050 - 7 000 | убираем 7 тысяч |
| 6 080 - 6 000 | убираем 6 тысяч |
| 8 090 - 8 040 | убираем 8 тысяч и 4 десятка |
В первых трёх примерах к круглым тысячам добавляются сотни, десятки и единицы. Нулевые разряды заменяются соответствующими цифрами: 23 000 + 25 = 23 025; 18 000 + 350 = 18 350; 37 000 + 480 = 37 480.
В 7 050 - 7 000 одинаковые 7 тысяч уничтожаются, остаётся 50. По тому же правилу 6 080 - 6 000 = 80.
В 8 090 - 8 040 сначала одинаковые 8 тысяч сокращаются, затем из 9 десятков вычитаем 4 десятка. Остаётся 5 десятков, то есть 50.
В седьмом примере выполняем действия слева направо: 69 875 - 800 = 69 075, затем 69 075 - 70 = 69 005.
Шаг 2. В восьмом примере 43 546 - 40 000 = 3 546. После вычитания ещё 40 получаем 3 506.
В девятом примере 93 648 - 3 000 = 90 648. Затем вычитаем 8 единиц: 90 648 - 8 = 90 640.
Проверяем обратными действиями: 69 005 + 70 + 800 = 69 875; 3 506 + 40 + 40 000 = 43 546; 90 640 + 8 + 3 000 = 93 648.
Промежуточные результаты в последних трёх выражениях показываем обязательно, потому что в каждом записано по два последовательных вычитания.
Вычисли.
(30 000 + 1 000) : 100;
30 000 + 1 000 : 100;
109 + 199 · 3;
(940 - 872) · 8;
945 : 7 · 6;
843 : 3 · 2.
1) (30 000 1+ 1 000) 2: 100 = 31 000 : 100 = 310.
2) 30 000 2+ 1 000 1: 100 = 30 000 + 10 = 30 010.
3) 109 2+ 199 1· 3 = 109 + 597 = 706.
4) (940 1- 872) 2· 8 = 68 · 8 = 544.
5) 945 1: 7 2· 6 = 135 · 6 = 810.
6) 843 1: 3 2· 2 = 281 · 2 = 562.
Пояснения
Шаг 1. Скобки меняют порядок действий. Поэтому первые два выражения, составленные из одинаковых чисел и знаков, имеют разные значения.
В первом выражении сначала 30 000 + 1 000 = 31 000, затем 31 000 : 100 = 310.
Во втором выражении скобок нет, поэтому сначала выполняем деление: 1 000 : 100 = 10. Затем 30 000 + 10 = 30 010.
В третьем выражении сначала умножаем 199 · 3. Столбиком получаем 597: 9 · 3 = 27, переносим 2; 9 · 3 + 2 = 29, переносим 2; 1 · 3 + 2 = 5.
199 · 3 = 597.
Прибавляем 109 к 597. По разрядам получаем 597 + 109 = 706.
Шаг 2. Четвёртое выражение начинаем со скобок: 940 - 872 = 68.
При вычитании занимаем через ноль десятков.
Умножаем результат: 68 · 8 = 544.
Восемью восемь - 64, пишем 4 и переносим 6 десятков; 6 · 8 + 6 = 54.
Шаг 3. В пятом выражении деление и умножение имеют одинаковую ступень, поэтому выполняем их слева направо. Делим 945 на 7 уголком: получаем 135.
945 : 7 = 135.
Умножаем найденное частное на 6: 135 · 6 = 810.
Переносы над разрядами сохраняют десятки, полученные в промежуточных произведениях.
Шаг 4. В шестом выражении также начинаем слева: 843 : 3 = 281.
Все разряды делятся последовательно без остатка.
Завершаем шестое выражение: 281 · 2 = 562.
Проверяем деления умножением: 135 · 7 = 945 и 281 · 3 = 843. Порядок действий и все промежуточные результаты верны.
Вырази в месяцах: 1 год; 4 года; 2 года 3 месяца.
1 год = 12 месяцев.
4 года = 12 · 4 = 48 месяцев.
2 года 3 месяца = 12 · 2 + 3 = 24 + 3 = 27 месяцев.
Пояснения
Шаг 1. Используем основное соотношение единиц времени: 1 год = 12 месяцев.
Для одного года преобразование уже дано: 1 год = 12 месяцев.
В четырёх годах четыре раза по 12 месяцев. Умножаем: 12 · 4 = 48 месяцев.
В двух годах 12 · 2 = 24 месяца. К ним нужно добавить ещё 3 месяца из условия.
Складываем: 24 + 3 = 27 месяцев. Поэтому 2 года 3 месяца = 27 месяцев.
Проверяем обратным переводом: 48 : 12 = 4 года; 27 месяцев - это 24 месяца, или 2 года, и остаток 3 месяца.
В ответах записываем полное название единицы времени, чтобы сокращение «мес.» не спутать с другими обозначениями.