1) В магазин привезли 48 коробок с зелёным и чёрным виноградом. В 16 коробках был чёрный виноград, по 9 кг в каждой, а в остальных - зелёный, по 8 кг в каждой. Сколько всего килограммов винограда привезли в магазин?
2) В магазин привезли 400 кг зелёного и чёрного винограда. В нескольких коробках был чёрный виноград, по 9 кг в каждой, а в 32 коробках - зелёный, по 8 кг в каждой. Сколько коробок чёрного винограда привезли в магазин?
1)
1) 9 · 16 = 144 (кг) - масса чёрного винограда.
2) 48 - 16 = 32 (кор.) - количество коробок с зелёным виноградом.
3) 8 · 32 = 256 (кг) - масса зелёного винограда.
4) 144 + 256 = 400 (кг) - масса всего винограда.
Ответ: 400 кг винограда.
2)
1) 8 · 32 = 256 (кг) - масса зелёного винограда.
2) 400 - 256 = 144 (кг) - масса чёрного винограда.
3) 144 : 9 = 16 (кор.) - количество коробок с чёрным виноградом.
Ответ: 16 коробок с чёрным виноградом.
Пояснения
Шаг 1. В обеих задачах связаны три величины: масса винограда в одной коробке, количество коробок и общая масса. Чтобы найти общую массу, массу одной коробки умножаем на количество коробок. Чтобы найти количество коробок, общую массу делим на массу одной коробки.
Запишем зависимости словами и действиями. Масса одной коробки · количество коробок = общая масса. Общая масса : масса одной коробки = количество коробок. Если известны массы двух видов винограда, их складываем; если известны общая масса и одна часть, вторую часть находим вычитанием.
Шаг 2. Составляем условие первой задачи в виде таблицы. Известно, что всего 48 коробок, из них 16 с чёрным виноградом. Для каждого вида также известна масса одной коробки.
| Виноград | Масса одной коробки | Количество коробок | Общая масса |
|---|---|---|---|
| Чёрный | 9 кг | 16 | ? |
| Зелёный | 8 кг | ? | ? |
| Всего | - | 48 | ? |
Находим массу чёрного винограда. В каждой из 16 коробок находится по 9 кг, поэтому заменяем сумму шестнадцати одинаковых слагаемых умножением: 9 · 16 = 144 кг.
Проверим произведение удобным разложением количества коробок: 16 = 10 + 6. Тогда 9 · 16 = 9 · 10 + 9 · 6 = 90 + 54 = 144 кг. Получен тот же результат.
Шаг 3. Определяем количество коробок с зелёным виноградом. Они составляют оставшуюся часть всех коробок: 48 - 16 = 32 коробки.
Шаг 4. В одной зелёной коробке 8 кг, а таких коробок 32. Находим их общую массу: 8 · 32 = 8 · (30 + 2) = 240 + 16 = 256 кг.
Проверяем связь количества коробок: 16 коробок с чёрным виноградом и 32 коробки с зелёным составляют 16 + 32 = 48 коробок. Это точно совпадает с общим количеством из условия.
Шаг 5. Весь виноград состоит из чёрного и зелёного. Складываем массы двух частей: 144 + 256 = 400 кг. Это ответ на вопрос первой задачи.
Проверяем первую задачу другим выражением: 9 · 16 + 8 · (48 - 16) = 144 + 8 · 32 = 144 + 256 = 400 кг. Все данные условия использованы.
Шаг 6. Теперь составляем таблицу второй задачи. Здесь заранее известна общая масса всего винограда - 400 кг и количество коробок с зелёным виноградом - 32. Неизвестно количество коробок с чёрным виноградом.
| Виноград | Масса одной коробки | Количество коробок | Общая масса |
|---|---|---|---|
| Чёрный | 9 кг | ? | ? |
| Зелёный | 8 кг | 32 | ? |
| Всего | - | ? | 400 кг |
Сначала узнаём массу зелёного винограда: 8 кг в каждой из 32 коробок. Получаем 8 · 32 = 256 кг.
Шаг 7. Из общей массы вычитаем найденную массу зелёного винограда: 400 - 256 = 144 кг. Столько весит весь чёрный виноград.
Чёрный виноград разложен по 9 кг в каждую коробку. Чтобы узнать количество коробок, делим общую массу чёрного винограда на массу одной коробки: 144 : 9 = 16 коробок.
Проверяем вторую задачу: 16 · 9 = 144 кг чёрного винограда; 32 · 8 = 256 кг зелёного; 144 + 256 = 400 кг. Получилась масса из условия.
Шаг 8. Можно проверить число коробок ещё одним способом. После вычитания массы зелёного винограда осталось 144 кг. Если разложить 144 кг по 9 кг, получится 10 коробок по 9 кг и ещё 6 коробок по 9 кг: 90 + 54 = 144 кг, всего 10 + 6 = 16 коробок.
Шаг 9. Эти задачи обратные по смыслу. В первой по количеству коробок находим общую массу 400 кг, а во второй по той же общей массе восстанавливаем количество коробок с чёрным виноградом - 16.
Робот-пылесос на одной зарядке убирает 50 м2 площади. Сколько раз надо зарядить робот-пылесос для уборки дома площадью 120 м2?
120 : 50 = 2 (остаток 20).
Двух зарядок хватит только на 100 м2, поэтому для оставшихся 20 м2 нужна ещё одна зарядка.
Ответ: робот-пылесос надо зарядить 3 раза.
Пояснения
Шаг 1. Одна полная зарядка позволяет убрать 50 м2. Сравним площадь дома 120 м2 с площадью, которую робот убирает за один раз.
Делим 120 на 50: 120 : 50 = 2 (остаток 20). Это означает, что после двух полных циклов будут убраны 50 + 50 = 100 м2.
В доме останется убрать 120 - 100 = 20 м2. Остаток не равен нулю, поэтому двух зарядок недостаточно.
Шаг 2. Для оставшихся 20 м2 потребуется третья зарядка, хотя её запас будет использован не полностью. Итак, считаем два полных цикла и ещё один неполный: 2 + 1 = 3.
Проверка: за 2 зарядки робот уберёт 2 · 50 = 100 м2, а это меньше 120 м2. За 3 зарядки он сможет убрать до 3 · 50 = 150 м2, чего достаточно для всего дома.
Чем похожи и чем различаются уравнения каждой пары? В каком уравнении каждой пары неизвестное число больше? Сделай вывод. Проверь решением.
| Пара | Первое уравнение | Второе уравнение |
|---|---|---|
| 1 | х + 37 = 78 | х + 37 = 80 |
| 2 | 90 - х = 47 | 90 - х = 50 |
| 3 | х - 28 = 32 | х - 28 = 22 |
| 4 | 45 + х = 63 | 45 + х = 68 |
1-я пара:
х + 37 = 78; х = 78 - 37; х = 41.
х + 37 = 80; х = 80 - 37; х = 43.
43 > 41, поэтому неизвестное больше во втором уравнении.
2-я пара:
90 - х = 47; х = 90 - 47; х = 43.
90 - х = 50; х = 90 - 50; х = 40.
43 > 40, поэтому неизвестное больше в первом уравнении.
3-я пара:
х - 28 = 32; х = 32 + 28; х = 60.
х - 28 = 22; х = 22 + 28; х = 50.
60 > 50, поэтому неизвестное больше в первом уравнении.
4-я пара:
45 + х = 63; х = 63 - 45; х = 18.
45 + х = 68; х = 68 - 45; х = 23.
23 > 18, поэтому неизвестное больше во втором уравнении.
Вывод: при одинаковом известном слагаемом большей сумме соответствует большее неизвестное слагаемое. При одинаковом уменьшаемом меньшей разности соответствует большее вычитаемое. При одинаковом вычитаемом большей разности соответствует большее уменьшаемое.
Пояснения
Шаг 1. В каждой паре одинаковы действие, положение неизвестного и один известный компонент. Отличается только результат действия: сумма или разность. Сначала сравним уравнения по смыслу, затем обязательно найдём корни.
В первой паре неизвестно первое слагаемое, а второе слагаемое в обоих уравнениях равно 37. Суммы различаются: 78 и 80. При одинаковом известном слагаемом для большей суммы нужно большее неизвестное слагаемое.
Решаем первую пару. Неизвестное слагаемое находим вычитанием известного слагаемого из суммы: 78 - 37 = 41 и 80 - 37 = 43. Сравниваем: 43 > 41.
Проверяем первую пару подстановкой: 41 + 37 = 78 и 43 + 37 = 80. Оба равенства верные, поэтому во втором уравнении неизвестное действительно больше.
Во второй паре одинаковое уменьшаемое 90, а неизвестным является вычитаемое. Разности равны 47 и 50. Если из одного и того же числа вычесть больше, останется меньше.
Находим неизвестные вычитаемые: х = 90 - 47 = 43 и х = 90 - 50 = 40. Сравниваем 43 > 40. Проверка: 90 - 43 = 47; 90 - 40 = 50. Большее неизвестное находится в первом уравнении.
Шаг 2. В третьей паре неизвестно уменьшаемое, а вычитаемое одинаково и равно 28. Разности различаются: 32 и 22. При одинаковом вычитаемом большая разность получается из большего уменьшаемого.
Неизвестное уменьшаемое находим сложением разности и вычитаемого: х = 32 + 28 = 60; х = 22 + 28 = 50. Сравнение 60 > 50 показывает, что неизвестное больше в первом уравнении.
Проверяем третью пару: 60 - 28 = 32 и 50 - 28 = 22. Обе подстановки дают правые части исходных уравнений.
В четвёртой паре неизвестно второе слагаемое, а первое слагаемое в обоих уравнениях равно 45. Сумма 68 больше суммы 63, поэтому и неизвестное во втором уравнении должно быть больше.
Решаем: х = 63 - 45 = 18; х = 68 - 45 = 23. Проверяем: 45 + 18 = 63 и 45 + 23 = 68. Так как 23 > 18, предположение подтвердилось.
Итог по четырём парам: большее неизвестное находится во втором, первом, первом и втором уравнениях соответственно. Выводы сделаны по зависимости между компонентами действий и подтверждены восемью решениями и восемью подстановками.
Общий вывод для четырёх пар: изменение правой части по-разному влияет на неизвестное в зависимости от его роли. Поэтому предположение делаем по связи компонентов, а затем подтверждаем подстановкой.
Вычисли.
1)
1 000 000 : 1 000 - 999;
1 000 000 : 1 000 + 1;
420 000 - 20 000;
28 000 : 4 · 100.
2)
800 - 139 · 4 + 244;
234 · 3 : 9;
1 000 - 678.
1)
1 000 000 1: 1 000 2- 999 = 1;
1 000 000 1: 1 000 2+ 1 = 1 001;
420 000 - 20 000 = 400 000;
28 000 1: 4 2· 100 = 700 000.
2)
800 2- 139 1· 4 3+ 244 = 488;
234 1· 3 2: 9 = 78;
1 000 - 678 = 322.
Пояснения
Шаг 1. Сначала определяем порядок действий. Умножение и деление выполняем раньше сложения и вычитания, а действия одной ступени - слева направо.
В первом выражении сначала делим миллион на тысячу: 1 000 000 : 1 000 = 1 000. Затем вычитаем: 1 000 - 999 = 1.
Во втором выражении также начинаем с деления: 1 000 000 : 1 000 = 1 000. После этого прибавляем единицу: 1 000 + 1 = 1 001.
Третье выражение содержит одно действие. Вычитаем 20 тысяч из 420 тысяч: 420 000 - 20 000 = 400 000.
В четвёртом выражении деление и умножение имеют одинаковую ступень, поэтому выполняем их слева направо: 28 000 : 4 = 7 000; 7 000 · 100 = 700 000.
В первом выражении второго пункта сначала умножаем 139 на 4. По разрядам получаем 556: 9 · 4 = 36, пишем 6 и переносим 3 десятка; 3 · 4 + 3 = 15, пишем 5 и переносим 1 сотню; 1 · 4 + 1 = 5.
Подставляем произведение: 800 - 556 + 244. Действия сложения и вычитания равноправны, поэтому идём слева направо. Сначала 800 - 556 = 244
, затем 244 + 244 = 488.
Разберём вычитание 800 - 556 по разрядам. Для единиц занимаем через нулевые разряды: 10 - 6 = 4. После заимствования остаётся 9 десятков, 9 - 5 = 4. В разряде сотен остаётся 7, поэтому 7 - 5 = 2. Получаем 244.
При сложении 244 + 244 переносов нет: 4 + 4 = 8 единиц, 4 + 4 = 8 десятков, 2 + 2 = 4 сотни. Результат равен 488.
Шаг 2. Во втором выражении сначала вычисляем 234 · 3 = 702.
Затем делим 702 на 9. Первое неполное делимое 70: в частном 7 десятков, остаётся 7 десятков; 72 : 9 = 8. Получаем 78.
При умножении 234 · 3 начинаем с единиц: 4 · 3 = 12, пишем 2 и переносим 1 десяток. Далее 3 · 3 + 1 = 10, пишем 0 и переносим 1 сотню. Наконец, 2 · 3 + 1 = 7. Получаем 702.
Проверим деление 702 : 9 умножением частного на делитель: 78 · 9 = (70 + 8) · 9 = 630 + 72 = 702. Значит, частное 78 найдено без остатка.
702 : 9 = 78.
Последнее выражение содержит одно вычитание: 1 000 - 678 = 322. При письменном вычислении занимаем одну тысячу через разряды сотен и десятков; точки над цифрами отмечают заимствование.
Разберём последнее вычитание по разрядам: 10 - 8 = 2 единицы; после последовательного заимствования остаётся 9 десятков, 9 - 7 = 2; затем 9 сотен - 6 сотен = 3 сотни. В разряде тысяч ничего не остаётся, поэтому результат 322.
Проверяем письменные действия: 556 + 244 = 800; 244 + 244 = 488; 702 : 3 = 234; 78 · 9 = 702; 322 + 678 = 1 000. Все промежуточные результаты верны.
Итоговые значения по порядку: в первом пункте 1, 1 001, 400 000, 700 000; во втором пункте 488, 78, 322. Ни одно выражение не пропущено.
Обратные действия подтверждают значения 556 и 322.
139 · 4 = 556.
1000 - 678 = 322.
Игра «Отгадай число».
Задумай любое однозначное число, кроме нуля. Умножь его на 5. Произведение увеличь в 2 раза. К результату прибавь 14. Из суммы вычти 8. Отбрось первую слева цифру результата. Оставшееся число умножь на 7 и раздели на 2. Объясни, почему в результате всегда будет 21.
Пример с числом 4:
4 · 5 = 20;
20 · 2 = 40;
40 + 14 = 54;
54 - 8 = 46;
отбрасываем 4, остаётся 6;
6 · 7 = 42;
42 : 2 = 21.
Пример с числом 9:
9 · 5 = 45;
45 · 2 = 90;
90 + 14 = 104;
104 - 8 = 96;
отбрасываем 9, остаётся 6;
6 · 7 = 42;
42 : 2 = 21.
Объяснение: первые два действия равны умножению задуманного числа на 10. Затем прибавляют 14 и вычитают 8, то есть прибавляют 6. Получается двузначное число, которое оканчивается цифрой 6. После удаления первой цифры остаётся 6, а 6 · 7 : 2 = 42 : 2 = 21.
Пояснения
Шаг 1. Возьмём любую цифру от 1 до 9. Первое действие увеличивает её в 5 раз, а второе увеличивает полученное произведение ещё в 2 раза. Вместе эти действия означают умножение на 5 · 2 = 10.
После умножения однозначного числа на 10 получается круглое двузначное число: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 или 90. В разряде единиц у каждого такого числа стоит 0.
Следующие два действия можно объединить: сначала прибавляем 14, затем вычитаем 8. Изменение равно 14 - 8 = 6, поэтому к круглому числу фактически прибавляется 6.
Если к числу, которое оканчивается нулём, прибавить 6, получится число с цифрой 6 в разряде единиц: 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86 или 96.
Шаг 2. Первая слева цифра в каждом полученном числе обозначает десятки. По правилу игры её отбрасываем. Во всех девяти возможных случаях остаётся одна и та же цифра 6.
С оставшимся числом выполняются одинаковые действия: 6 · 7 = 42, затем 42 : 2 = 21. Эти действия уже не зависят от того, какая цифра была задумана сначала.
Проверим ход игры на числе 4: 4 · 5 · 2 = 40; 40 + 14 - 8 = 46; после удаления 4 остаётся 6; 6 · 7 : 2 = 21.
Проверим крайний случай - число 9: 9 · 5 · 2 = 90; 90 + 14 - 8 = 96; после удаления 9 остаётся 6; 6 · 7 : 2 = 21. Даже когда промежуточно получается 104, после вычитания 8 снова выходит двузначное число 96.
Шаг 3. Коротко закономерность можно записать так: задуманная цифра превращается в число десятков, а в единицах появляется 6. После удаления разряда десятков исходная цифра исчезает, поэтому окончательный ответ всегда одинаков.
Общую цепочку действий можно прочитать без выбора конкретной цифры: умножить на 10, прибавить 6, убрать цифру десятков, получить 6, затем умножить на 7 и разделить на 2. Последние два действия дают 6 · 7 : 2 = 21.
Итак, игра всегда заканчивается числом 21, потому что перед двумя последними действиями обязательно остаётся число 6. Проверять отдельно все девять исходных цифр уже не требуется: правило доказано для любой из них.
Вычислительная машина работает так, как показано на рисунке. Составь план её работы. Какое число будет получаться на выходе из машины, если на входе будет число 7; 8; 10; 200; 12; 158?
План работы:
- Ввести число.
- Сравнить его со 100.
- Если число меньше 100, умножить его на 6.
- Если число не меньше 100, оставить его без изменения.
- Передать полученное число на выход.
| Число на входе | Сравнение со 100 | Действие | Число на выходе |
|---|---|---|---|
| 7 | 7 < 100 | 7 · 6 | 42 |
| 8 | 8 < 100 | 8 · 6 | 48 |
| 10 | 10 < 100 | 10 · 6 | 60 |
| 200 | 200 > 100 | без изменения | 200 |
| 12 | 12 < 100 | 12 · 6 | 72 |
| 158 | 158 > 100 | без изменения | 158 |
Ответ: на выходе получатся числа 42; 48; 60; 200; 72; 158.
Пояснения
Шаг 1. Начинаем с блока «Вход»: в машину поступает одно число. Затем оно попадает в блок проверки с вопросом «Число меньше 100?». От ответа зависит дальнейший путь.
Если сравнение даёт ответ «да», число направляется в блок умножения на 6. Если ответ «нет», число проходит к выходу без изменения. Так схема задаёт два разных правила.
Проверяем число 7: 7 < 100, значит, выбираем ветвь умножения. 7 · 6 = 42. На выходе будет 42.
Числа 8 и 10 тоже меньше 100. Получаем 8 · 6 = 48 и 10 · 6 = 60. На выходе появляются 48 и 60.
Число 200 не меньше 100, поэтому условие «меньше 100» не выполняется. Умножение не производится, на выход поступает само число 200.
Число 12 меньше 100, значит, 12 · 6 = 72. Число 158 больше 100, поэтому оно проходит без изменения. Получаем ещё два выхода: 72 и 158.
Проверим полноту по порядку входных данных: 7 → 42; 8 → 48; 10 → 60; 200 → 200; 12 → 72; 158 → 158. Каждому из шести чисел соответствует один результат.
Шаг 2. Для числа 100 вопрос «100 < 100?» имел бы ответ «нет», поэтому 100 также прошло бы без изменения. Так формулировка «не меньше 100» учитывает и числа больше 100, и само число 100.
Вычисли:
900 - 756 : 9 - 84;
906 : 6 · 100;
1 000 - 806.
1) 900 2- 756 1: 9 3- 84 = 732.
2) 906 1: 6 2· 100 = 15 100.
3) 1 000 - 806 = 194.
Пояснения
Шаг 1. Определяем порядок действий и по очереди вычисляем каждое выражение. Деление и умножение выполняем раньше сложения и вычитания, а действия одной ступени - слева направо.
900 - 756 : 9 - 84. Сначала делим: 756 : 9 = 84. Первое неполное делимое - 75 десятков: 75 : 9 = 8, 8 · 9 = 72, остаток 3. Сносим 6 единиц, получаем 36; 36 : 9 = 4, остаток 0.
756 : 9 = 84.
Теперь выражение имеет вид 900 - 84 - 84. Вычитаем слева направо: 900 - 84 = 816, затем 816 - 84 = 732. Поэтому 900 - 756 : 9 - 84 = 732.
906 : 6 · 100. Деление и умножение имеют одинаковую ступень, поэтому начинаем слева. При делении 906 на 6 получаем 1 сотню, 5 десятков и 1 единицу: 906 : 6 = 151.
906 : 6 = 151.
Далее 151 · 100 = 15 100: при умножении целого числа на 100 справа дописываем два нуля. Итак, 906 : 6 · 100 = 15 100.
1 000 - 806. Здесь одно действие. Из нуля единиц нельзя вычесть 6, поэтому занимаем одну тысячу через разряды сотен и десятков. Получаем 10 единиц, 9 десятков и 9 сотен. 10 - 6 = 4, 9 - 0 = 9, 9 - 8 = 1. Разность равна 194.
1 000 - 806 = 194.
При заимствовании одна тысяча превращается в 10 сотен. Одну сотню передаём десяткам, а один десяток - единицам. Поэтому над разрядами отмечены изменившиеся цифры: в разряде сотен остаётся 9 сотен, в разряде десятков - 9 десятков, в разряде единиц получается 10 единиц.
Шаг 2. Записываем окончательные вычисления в порядке выполнения действий и проверяем результаты обратными действиями.
1) 756 : 9 = 84;
900 - 84 = 816;
816 - 84 = 732.
2) 906 : 6 = 151;
151 · 100 = 15 100.
3) 1 000 - 806 = 194.
Проверка: 84 · 9 = 756; 732 + 84 + 84 = 900; 151 · 6 = 906; 15 100 : 100 = 151; 194 + 806 = 1 000. Все результаты совпали с исходными числами.
В первом выражении результат деления 84 участвует в двух последующих вычитаниях. Во втором выражении частное 151 умножается на 100 только после завершения деления. В третьем выражении обратное сложение 194 + 806 возвращает уменьшаемое 1 000.
Какая фигура лишняя?
Здесь возможно несколько верных ответов:
1) Лишним может быть треугольник 1, потому что он единственный голубой.
2) Лишним может быть треугольник 3, потому что он единственный равносторонний.
3) Лишним может быть треугольник 4, потому что он единственный разносторонний.
4) Лишним может быть треугольник 4, потому что он единственный тупоугольный.
Пояснения
Шаг 1. Нумеруем треугольники слева направо и сравниваем их не по одному, а по нескольким признакам: цвету, равенству сторон и величине углов. Поэтому у задания может быть несколько обоснованных ответов.
Треугольник 1 голубой, равнобедренный и остроугольный. По цвету он отличается от остальных трёх зелёных фигур, поэтому его можно назвать лишним.
Шаг 2. Треугольник 2 зелёный, равнобедренный и остроугольный. У него нет единственного признака, которого совсем нет у остальных: зелёные, равнобедренные и остроугольные треугольники встречаются ещё.
У треугольника 3 все три стороны равны, значит, он равносторонний. Остальные треугольники не являются равносторонними, поэтому по этому признаку лишним будет номер 3.
Шаг 3. У треугольника 4 все стороны разной длины, а один угол больше прямого. Значит, он одновременно единственный разносторонний и единственный тупоугольный треугольник. По каждому из этих признаков лишним будет номер 4.
Шаг 4. Итог зависит от выбранного признака: по цвету выделяется 1, по равенству всех сторон - 3, по разным сторонам и тупому углу - 4. В ответе обязательно называем не только номер, но и причину выбора.