Вырази:
1) в квадратных метрах: 5 км2, 500 дм2;
2) в квадратных миллиметрах: 8 см2, 3 см2 20 мм2;
3) в квадратных сантиметрах: 2 дм2, 3 м2;
4) в квадратных дециметрах: 7 м2, 900 см2.
1) 5 км2 = 5 000 000 м2;
500 дм2 = 5 м2.
2) 8 см2 = 800 мм2;
3 см2 20 мм2 = 320 мм2.
3) 2 дм2 = 200 см2;
3 м2 = 30 000 см2.
4) 7 м2 = 700 дм2;
900 см2 = 9 дм2.
Пояснения
Шаг 1. Запишем основные связи единиц площади: 1 см2 = 100 мм2, 1 дм2 = 100 см2, 1 м2 = 100 дм2 = 10 000 см2, 1 км2 = 1 000 000 м2. При переводе площади учитываем две стороны фигуры.
Переведём в квадратные метры. Так как 1 км = 1 000 м, то 5 км2 = 5 · 1 000 · 1 000 = 5 000 000 м2. В одном квадратном метре 100 дм2, поэтому 500 : 100 = 5 и 500 дм2 = 5 м2.
Шаг 2. Переведём в квадратные миллиметры. Один квадратный сантиметр содержит 100 мм2: 8 · 100 = 800 мм2. Затем 3 см2 = 300 мм2; добавляем ещё 20 мм2 и получаем 300 + 20 = 320 мм2.
Переведём в квадратные сантиметры. В 1 дм2 находится 100 см2, значит, 2 дм2 = 2 · 100 = 200 см2. В 1 м2 находится 10 000 см2, поэтому 3 м2 = 3 · 10 000 = 30 000 см2.
Шаг 3. Переведём в квадратные дециметры. Так как 1 м2 = 100 дм2, получаем 7 · 100 = 700 дм2. Для 900 см2 выполняем обратный переход: 900 : 100 = 9 дм2.
Проверим направление переходов. При замене крупной единицы площади мелкой число увеличивается, а при замене мелкой единицы крупной уменьшается. Все восемь результатов соответствуют этому правилу. В условии третьего пункта должно быть 2 дм2; это подтверждается результатом 200 см2.
1) Расстояние между двумя городами 420 км. Поезду на пути из одного города в другой осталось пройти 180 км. На сколько километров больше поезд прошёл, чем ему осталось пройти?
2) Когда от мотка тесьмы отрезали 3 раза по 2 м, в нём осталось d м. Запиши выражение, которое показывает, сколько метров тесьмы было в мотке сначала.
1)
1) 420 - 180 = 240 (км) - прошёл поезд.
2) 240 - 180 = 60 (км) - на столько больше поезд прошёл, чем ему осталось пройти.
Ответ: на 60 км больше.
2)
2 · 3 + d = 6 + d (м) - было в мотке сначала.
Ответ: 2 · 3 + d м, или 6 + d м.
Пояснения
Шаг 1. Для первой задачи составляем краткую запись: весь путь - 420 км, осталось - 180 км, пройдено - неизвестно. Сначала требуется найти пройденную часть, затем сравнить её с оставшейся.
Весь путь состоит из пройденной и оставшейся частей. Поэтому из общего расстояния вычитаем то, что осталось: 420 - 180 = 240 км. Это расстояние поезд уже прошёл.
Шаг 2. Теперь сравниваем 240 км и 180 км. Вопрос содержит слова «на сколько больше», поэтому из большего числа вычитаем меньшее: 240 - 180 = 60 км.
Запишем решение первой задачи одним выражением: (420 - 180) - 180 = 240 - 180 = 60 км. Проверка: 180 + 60 = 240 км, то есть пройденная часть действительно больше оставшейся на 60 км.
Шаг 3. Для второй задачи составляем схему мотка: отрезали три одинаковые части по 2 м, а после этого осталось d м. Первоначальная длина складывается из всей отрезанной тесьмы и остатка.
Шаг 4. Найдём длину отрезанной части. Три раза по 2 м - это сумма 2 + 2 + 2, которую удобно заменить произведением: 2 · 3 = 6 м.
Шаг 5. К 6 м отрезанной тесьмы прибавляем d м, которые остались. Получаем выражение 6 + d. До выполнения умножения то же выражение записывается как 2 · 3 + d.
Проверим смысл выражения: если из первоначальной длины 6 + d вычесть отрезанные 6 м, останется d м, как и сказано в условии. В буквенном ответе единицу измерения записываем после всего выражения.
Шаг 6. Сравним устройство двух задач. В первой весь путь известен, поэтому неизвестную часть находим вычитанием. Во второй вся длина мотка неизвестна, но известны обе её части, поэтому записываем их сумму. Число 180 в первой задаче используется дважды с разным смыслом: сначала как часть всего пути, затем как величина для сравнения. Буква d во второй задаче обозначает любое возможное неотрицательное количество оставшихся метров, поэтому числовой ответ без значения d получить нельзя.
Выполни вычисления:
1) 954 : 3 + 512 : 4; 2) 234 · 4 - 147 · 5;
3) 672 : 8 - 441 : 9; 4) 8 · 8 : 16;
5) 9 · 8 : 12; 6) 7 · 8 : 14;
7) 45 000 : 100; 8) 6 000 · 100; 9) 6 000 + 100.
1) 954 1: 3 3+ 512 2: 4 = 446.
2) 234 1· 4 3- 147 2· 5 = 201.
3) 672 1: 8 3- 441 2: 9 = 35.
4) 8 1· 8 2: 16 = 4.
5) 9 1· 8 2: 12 = 6.
6) 7 1· 8 2: 14 = 4.
7) 45 000 : 100 = 450.
8) 6 000 · 100 = 600 000.
9) 6 000 + 100 = 6 100.
Пояснения
Шаг 1. В выражениях без скобок умножение и деление выполняем раньше сложения и вычитания. Действия одной ступени выполняем слева направо.
В первом выражении сначала делим: 954 : 3 = 318
и 512 : 4 = 128.
Затем складываем результаты: 318 + 128 = 446.
Полная запись: 954 : 3 + 512 : 4 = 318 + 128 = 446.
Во втором выражении сначала находим два произведения: 234 · 4 = 936
и 147 · 5 = 735.
После этого выполняем вычитание: 936 - 735 = 201.
В третьем выражении сначала получаем частные: 672 : 8 = 84
и 441 : 9 = 49.
Затем вычитаем: 84 - 49 = 35.
При письменном вычитании занимаем один десяток.
Шаг 2. В выражениях 4-6 умножение и деление имеют одинаковую ступень, поэтому идём слева направо: 8 · 8 = 64, 64 : 16 = 4; 9 · 8 = 72, 72 : 12 = 6; 7 · 8 = 56, 56 : 14 = 4.
В седьмом выражении делим 45 000 на 100 и убираем справа два нуля: получаем 450. В восьмом выражении при умножении 6 000 на 100 добавляем два нуля: 600 000. В девятом выражении прибавляем только 100: 6 000 + 100 = 6 100.
Проверим ключевые результаты обратными действиями: 318 · 3 = 954; 128 · 4 = 512; 446 - 128 = 318; 936 - 201 = 735; 84 - 35 = 49. Простые вычисления также верны: 4 · 16 = 64, 6 · 12 = 72 и 4 · 14 = 56.
Выполни деление с остатком и проверь решение:
80 : 9
70 : 60
953 : 8
879 : 6
809 : 7
968 : 9.
80 : 9 = 8 (остаток 8).
Проверка: 8 < 9; 8 · 9 + 8 = 80.
70 : 60 = 1 (остаток 10).
Проверка: 10 < 60; 1 · 60 + 10 = 70.
953 : 8 = 119 (остаток 1).
Проверка: 1 < 8; 119 · 8 + 1 = 953.
879 : 6 = 146 (остаток 3).
Проверка: 3 < 6; 146 · 6 + 3 = 879.
809 : 7 = 115 (остаток 4).
Проверка: 4 < 7; 115 · 7 + 4 = 809.
968 : 9 = 107 (остаток 5).
Проверка: 5 < 9; 107 · 9 + 5 = 968.
Пояснения
Шаг 1. Выполняем деление с остатком. В каждом разряде выбираем наибольшую подходящую цифру частного, после вычитания сравниваем остаток с делителем.
80 : 9. Наибольшее произведение девяти, не превосходящее 80, равно 9 · 8 = 72. Остаток 80 - 72 = 8, причём 8 < 9. Получаем 8 (остаток 8).
70 : 60. Делитель помещается в 70 один раз: 60 · 1 = 60. Остаток равен 70 - 60 = 10, и 10 < 60. Получаем 1 (остаток 10).
953 : 8. Первое неполное делимое - 9 сотен: 9 : 8 = 1, остаток 1. Сносим 5 десятков и получаем 15: 15 : 8 = 1, остаток 7. Сносим 3 единицы: 73 : 8 = 9, 9 · 8 = 72, остаток 1. Частное равно 119.
879 : 6. 8 : 6 = 1, остаётся 2; сносим 7 и получаем 27. 27 : 6 = 4, остаётся 3; сносим 9 и получаем 39. 39 : 6 = 6, остаток 3. Частное равно 146.
809 : 7. 8 : 7 = 1, остаток 1. После сноса 0 получаем 10: 10 : 7 = 1, остаток 3. Сносим 9 и получаем 39: 39 : 7 = 5, 5 · 7 = 35, остаток 4. Частное равно 115.
968 : 9. 9 : 9 = 1, остаток 0. Следующее неполное делимое 6 меньше 9, поэтому в разряде десятков частного записываем 0. Сносим 8, получаем 68: 68 : 9 = 7, 7 · 9 = 63, остаток 5. Частное равно 107.
Шаг 2. Проверяем результаты: остаток должен быть меньше делителя, а делитель, умноженный на частное, вместе с остатком должен дать делимое.
8 < 9; 8 · 9 + 8 = 72 + 8 = 80.
10 < 60; 1 · 60 + 10 = 60 + 10 = 70.
1 < 8; 119 · 8 + 1 = 952 + 1 = 953.
3 < 6; 146 · 6 + 3 = 876 + 3 = 879.
4 < 7; 115 · 7 + 4 = 805 + 4 = 809.
5 < 9; 107 · 9 + 5 = 963 + 5 = 968.
Все остатки меньше соответствующих делителей, и каждое проверочное равенство восстанавливает делимое. Значит, частные и остатки найдены правильно.
Проверочное произведение берём без остатка: например, 119 · 8 = 952. До делимого 953 не хватает 1, это и есть остаток. Аналогично 107 · 9 = 963, а 963 + 5 = 968. Так проверяются одновременно и частное, и остаток.
Шаг 3. Записываем четыре многозначных деления уголком и выполняем проверочные умножения столбиком. Два первых примера вычисляются устно.
953 : 8 = 119 (остаток 1).
119 · 8 = 952.
879 : 6 = 146 (остаток 3).
146 · 6 = 876.
809 : 7 = 115 (остаток 4).
115 · 7 = 805.
968 : 9 = 107 (остаток 5).
107 · 9 = 963.
Найди число, которое:
1) больше, чем 567, на 94;
2) меньше, чем 356, в 4 раза;
3) больше, чем разность чисел 946 и 146, в 8 раз.
1) 567 + 94 = 661.
Ответ: 661.
2) 356 : 4 = 89.
Ответ: 89.
3) (946 - 146) · 8 = 800 · 8 = 6 400.
Ответ: 6 400.
Пояснения
Шаг 1. Слова «больше на 94» указывают на сложение: к 567 прибавляем 94. Получаем 567 + 94 = 661.
В письменном сложении переносим один десяток и одну сотню.
Проверим первый результат вычитанием: 661 - 94 = 567. Значит, число 661 действительно больше 567 ровно на 94.
Слова «меньше в 4 раза» означают деление на 4. Выполняем 356 : 4 = 89
: 35 десятков делим на 4, получаем 8 десятков и остаток 3 десятка; 36 единиц делим на 4, получаем 9 единиц.
Проверим второй результат: 89 · 4 = 356. Следовательно, 89 в 4 раза меньше 356.
Шаг 2. В третьем пункте сначала находим разность в скобках: 946 - 146 = 800.
Затем увеличиваем её в 8 раз: 800 · 8 = 6 400. Скобки требуют выполнить вычитание первым действием.
800 · 8 = 6400.
Проверим третий результат обратным действием: 6 400 : 8 = 800, а 800 = 946 - 146. Значит, найденное число в 8 раз больше указанной разности.
Найди на чертеже прямые, острые и тупые углы. Запиши название каждого угла. Назови виды всех треугольников.
Прямые углы: ∠ABC, ∠BAK, ∠BDK.
Острые углы: ∠ABD, ∠BAD, ∠BDA, ∠CBD, ∠BDC, ∠ADK, ∠DAK.
Тупые углы: ∠BCD, ∠AKD, ∠ADC, ∠CDK.
Треугольники:
△ABD - остроугольный;
△BCD и △ADK - тупоугольные.
Пояснения
Шаг 1. В названии угла буква вершины всегда находится посередине. Например, у ∠ABC вершина B, а сторонами служат лучи BA и BC. Сначала определяем вершину, затем сравниваем угол с прямым.
Прямому углу равны ∠ABC и ∠BAK: стороны AB, BC и AK образуют углы прямоугольной рамки. Угол ∠BDK также равен прямому. Всего на чертеже три прямых угла.
Шаг 2. Меньше прямого угла следующие углы: ∠ABD, ∠BAD и ∠BDA в треугольнике ABD; ∠CBD и ∠BDC в треугольнике BCD; ∠ADK и ∠DAK в треугольнике ADK. Все они острые.
Больше прямого, но меньше развёрнутого углы ∠BCD и ∠AKD. Кроме них, тупыми являются составные углы ∠ADC и ∠CDK. При чтении обозначений проверяем, что D и K стоят в середине там, где находятся вершины.
Шаг 3. В треугольнике ABD все три угла острые, поэтому он остроугольный. В треугольнике BCD есть тупой угол BCD, а в треугольнике ADK есть тупой угол AKD. Следовательно, два последних треугольника тупоугольные.
Проверяем полноту по треугольникам: у каждого из трёх треугольников названы все его углы, а вид определён по самому большому углу. Один тупой угол сразу делает треугольник тупоугольным.
Используя знаки действий и скобки, запиши:
1) число 24 четырьмя тройками или тремя двойками (например, 24 = 33 - 3 · 3);
2) числа 20, 10, 810, 1 008 четырьмя девятками;
3) число 1 000 пятью девятками или шестью пятёрками.
1) 24 = 3 · 3 · 3 - 3;
24 = 22 + 2.
2) 20 = 99 : 9 + 9;
10 = (99 - 9) : 9;
810 = (99 - 9) · 9;
1 008 = 999 + 9.
3) 1 000 = 999 + 9 : 9;
1 000 = (5 + 5) · (5 + 5) · (5 + 5).
Пояснения
Шаг 1. В каждом равенстве считаем не значение записи вроде 99 или 999, а количество использованных цифр. Знаки действий и скобки можно выбирать свободно, но требуемую цифру нельзя заменять другой.
Получим 24 четырьмя тройками: 3 · 3 · 3 - 3 = 27 - 3 = 24. Здесь использованы ровно четыре цифры 3. Другой вариант тремя двойками: 22 + 2 = 24.
Получим 20 четырьмя девятками: 99 : 9 + 9 = 11 + 9 = 20. Сначала выполняется деление, затем сложение.
Получим 10 четырьмя девятками: (99 - 9) : 9 = 90 : 9 = 10. Скобки заставляют сначала выполнить вычитание.
Шаг 2. Получим 810 четырьмя девятками: (99 - 9) · 9 = 90 · 9 = 810. Для 1 008 используем 999 + 9 = 1 008; в обеих записях по четыре девятки.
Получим 1 000 пятью девятками: 999 + 9 : 9 = 999 + 1 = 1 000. Деление 9 : 9 выполняется раньше сложения.
Получим 1 000 шестью пятёрками: (5 + 5) · (5 + 5) · (5 + 5) = 10 · 10 · 10 = 1 000. В трёх одинаковых скобках находится по две пятёрки, всего 2 · 3 = 6 цифр.
Проверим количество цифр и значения всех выражений. Требование выполнено для каждого числа, а порядок действий однозначно определяется скобками и правилом выполнения умножения и деления раньше сложения и вычитания.
Какое свойство не является общим для чисел 3 547, 6 579, 4 591 и 7 564?
1) Все числа четырёхзначные.
2) Все числа нечётные.
3) Все числа больше 3 000.
Не является общим свойство 2: «Все числа нечётные». Число 7 564 чётное.
Пояснения
Шаг 1. Проверим каждое свойство сразу для всех четырёх чисел. Общее свойство обязано подходить каждому числу; достаточно одного исключения, чтобы утверждение стало неверным.
Все числа четырёхзначные: 3 547, 6 579, 4 591 и 7 564 содержат по четыре цифры. Первое свойство является общим.
Шаг 2. Чётность определяем по последней цифре. Числа 3 547, 6 579 и 4 591 оканчиваются нечётными цифрами 7, 9 и 1. Число 7 564 оканчивается цифрой 4, поэтому оно чётное.
Шаг 3. Следовательно, второе утверждение не подходит числу 7 564 и не является общим для всей группы. Именно его нужно выбрать.
Проверим третье свойство: каждое из данных чисел больше 3 000. Значит, первое и третье свойства общие, а единственный верный выбор - пункт 2.
Выполни преобразования:
7 км2 = ... м2;
800 дм2 = ... м2.
7 км2 = 7 000 000 м2.
800 дм2 = 8 м2.
Пояснения
Шаг 1. Для первой величины используем связь 1 км = 1 000 м. В квадратном километре изменяются обе стороны, поэтому 1 км2 = 1 000 · 1 000 = 1 000 000 м2.
Переводим 7 км2 в квадратные метры: 7 · 1 000 000 = 7 000 000 м2.
Для второй величины вспоминаем, что 1 м = 10 дм. Значит, 1 м2 = 10 · 10 = 100 дм2.
Квадратные дециметры заменяем более крупными квадратными метрами, поэтому делим: 800 : 100 = 8 м2.
Проверяем обратным переводом: 7 000 000 м2 : 1 000 000 = 7 км2; 8 м2 · 100 = 800 дм2. Оба результата верны.
Для единиц площади коэффициент перевода получают умножением коэффициентов длины.