Выполни деление с остатком и сделай проверку:
832 : 9
641 : 3
587 : 8
667 : 7.
832 : 9 = 92 (ост. 4).
Проверка: 4 < 9; 92 · 9 + 4 = 832.
641 : 3 = 213 (ост. 2).
Проверка: 2 < 3; 213 · 3 + 2 = 641.
587 : 8 = 73 (ост. 3).
Проверка: 3 < 8; 73 · 8 + 3 = 587.
667 : 7 = 95 (ост. 2).
Проверка: 2 < 7; 95 · 7 + 2 = 667.
Пояснения
Шаг 1. Сначала выполняем деление с остатком. В каждом неполном делимом выбираем наибольшую цифру частного, при которой произведение не превосходит неполное делимое, а полученный остаток меньше делителя.
832 : 9. Первое неполное делимое - 83 десятка, поэтому в частном будет две цифры. 83 : 9 = 9, так как 9 · 9 = 81. Остаётся 2 десятка. Сносим 2 единицы и получаем 22. 22 : 9 = 2, потому что 2 · 9 = 18. Остаток равен 22 - 18 = 4, он меньше 9. Значит, 832 : 9 = 92 (ост. 4).
641 : 3. 6 сотен делим на 3 и получаем 2 сотни. Сносим 4 десятка: 4 : 3 = 1, остаётся 1 десяток. После сноса единицы получается 11; 11 : 3 = 3, остаток 2. Поэтому 641 : 3 = 213 (ост. 2).
587 : 8. Первое неполное делимое - 58 десятков. 58 : 8 = 7, 7 · 8 = 56, остаётся 2 десятка. Сносим 7 и получаем 27; 27 : 8 = 3, 3 · 8 = 24, остаток 3. Получаем 73 (ост. 3).
667 : 7. Первое неполное делимое - 66 десятков. 66 : 7 = 9, 9 · 7 = 63, остаётся 3 десятка. Сносим 7 и получаем 37; 37 : 7 = 5, 5 · 7 = 35, остаток 2. Получаем 95 (ост. 2).
Шаг 2. Проверяем каждое деление двумя условиями: остаток меньше делителя, а произведение частного и делителя вместе с остатком даёт делимое.
832 : 9: 4 < 9; 92 · 9 = 828; 828 + 4 = 832.
641 : 3: 2 < 3; 213 · 3 = 639; 639 + 2 = 641.
587 : 8: 3 < 8; 73 · 8 = 584; 584 + 3 = 587.
667 : 7: 2 < 7; 95 · 7 = 665; 665 + 2 = 667. Во всех четырёх примерах оба условия выполнены.
Такая проверка восстанавливает делимое: сначала находим число, которое разделили без остатка, а затем прибавляем оставшуюся часть. Если получено данное делимое и остаток меньше делителя, цифры частного и остаток найдены верно.
Шаг 3. Записываем каждое деление уголком, а рядом с проверкой выполняем умножение столбиком.
832 : 9 = 92 (ост. 4).
92 · 9 = 828.
641 : 3 = 213 (ост. 2).
213 · 3 = 639.
587 : 8 = 73 (ост. 3).
73 · 8 = 584.
667 : 7 = 95 (ост. 2).
95 · 7 = 665.
Найди значения выражений.
(57 · 9 + 87) : 6;
(648 : 4 - 78) · 4;
(807 - 55 · 6) : 9;
(900 - 755 : 5) : 7;
137 · 6 : 2;
219 : 3 · 8.
(57 · 9 + 87) : 6 = 100;
(648 : 4 - 78) · 4 = 336;
(807 - 55 · 6) : 9 = 53;
(900 - 755 : 5) : 7 = 107;
137 · 6 : 2 = 411;
219 : 3 · 8 = 584.
Пояснения
Шаг 1. В выражениях со скобками сначала выполняем действия внутри скобок.
Шаг 2. Умножение и деление имеют одинаковую ступень, поэтому без скобок считаем их слева направо.
1) 57 · 9 = 513;
2) 513 + 87 = 600;
3) 600 : 6 = 100.
1) 648 : 4 = 162;
2) 162 - 78 = 84;
3) 84 · 4 = 336.
1) 55 · 6 = 330;
2) 807 - 330 = 477;
3) 477 : 9 = 53.
1) 755 : 5 = 151;
2) 900 - 151 = 749;
3) 749 : 7 = 107.
1) 137 · 6 = 822;
2) 822 : 2 = 411.
1) 219 : 3 = 73;
2) 73 · 8 = 584.
Реши уравнения.
7 · x = 7;
x - 12 = 0;
32 : x = 1;
83 - x = 0.
1) 7 · x = 7
x = 7 : 7
x = 1
Проверка: 7 · 1 = 7.
2) x - 12 = 0
x = 0 + 12
x = 12
Проверка: 12 - 12 = 0.
3) 32 : x = 1
x = 32 : 1
x = 32
Проверка: 32 : 32 = 1.
4) 83 - x = 0
x = 83 - 0
x = 83
Проверка: 83 - 83 = 0.
Пояснения
Шаг 1. Правило для первого уравнения: неизвестный множитель равен произведению, делённому на известный множитель.
В равенстве 7 · x = 7 получаем x = 1, потому что умножение на единицу сохраняет число.
Во втором уравнении неизвестно уменьшаемое. Его находим сложением разности и вычитаемого: 0 + 12 = 12.
В первом уравнении неизвестен множитель.
Делим произведение 7 на известный множитель 7.
Во втором уравнении неизвестно уменьшаемое.
К разности 0 прибавляем вычитаемое 12.
В третьем уравнении неизвестен делитель.
Делимое 32 делим на частное 1.
В четвёртом уравнении неизвестно вычитаемое.
Из уменьшаемого 83 вычитаем разность 0.
После нахождения x подставляем его в исходное уравнение.
Все четыре проверки дают верные равенства.
Шаг 2. В третьем уравнении неизвестен делитель. Делитель равен делимому, разделённому на частное: 32 : 1 = 32.
В четвёртом уравнении неизвестно вычитаемое. Его находим разностью уменьшаемого и результата: 83 - 0 = 83.
Подстановка каждого найденного числа превращает исходную запись в верное числовое равенство.
Корни по порядку равны 1, 12, 32 и 83. Проверки: 7 · 1 = 7; 12 - 12 = 0; 32 : 32 = 1; 83 - 83 = 0.
В двух уравнениях результат действия равен нулю, поэтому уменьшаемое и вычитаемое должны быть равны.
Реши каждую задачу разными способами.
1) В магазин привезли 5 контейнеров мандаринов, по 40 кг в каждом, и 5 контейнеров с виноградом, по 35 кг в каждом. В первый день продали 120 кг мандаринов и 140 кг винограда. Сколько всего килограммов мандаринов и винограда осталось продать?
2) Столовая расходовала одну неделю по 70 л молока в день, а другую неделю - по 80 л молока в день. Сколько литров молока израсходовали за эти две недели, если столовая работала 5 дней в неделю? 6 дней?
Задача 1. Первый способ
1) 40 · 5 = 200 (кг) - привезли мандаринов.
2) 200 - 120 = 80 (кг) - осталось мандаринов.
3) 35 · 5 = 175 (кг) - привезли винограда.
4) 175 - 140 = 35 (кг) - осталось винограда.
5) 80 + 35 = 115 (кг) - осталось всего.
Задача 1. Второй способ
1) 40 · 5 = 200 (кг) - привезли мандаринов.
2) 35 · 5 = 175 (кг) - привезли винограда.
3) 200 + 175 = 375 (кг) - привезли всего.
4) 120 + 140 = 260 (кг) - продали всего.
5) 375 - 260 = 115 (кг) - осталось.
Ответ: 115 кг.
Задача 2. Первый способ
Если столовая работала 5 дней:
1) 70 · 5 = 350 (л);
2) 80 · 5 = 400 (л);
3) 350 + 400 = 750 (л).
Если столовая работала 6 дней:
1) 70 · 6 = 420 (л);
2) 80 · 6 = 480 (л);
3) 420 + 480 = 900 (л).
Задача 2. Второй способ
1) 70 + 80 = 150 (л) - общий расход за один рабочий день двух недель.
2) 150 · 5 = 750 (л) - при пятидневной неделе.
3) 150 · 6 = 900 (л) - при шестидневной неделе.
Ответ: 750 л; 900 л.
Пояснения
Шаг 1. Решаем первую задачу двумя способами.
В первом способе для каждого вида фруктов отдельно находим привезённую массу, затем вычитаем проданную. Мандаринов было 40 · 5 = 200 кг, осталось 200 - 120 = 80 кг. Винограда было 35 · 5 = 175 кг, осталось 175 - 140 = 35 кг. Всего осталось 80 + 35 = 115 кг.
Во втором способе объединяем одинаковые этапы. Всего привезли 200 + 175 = 375 кг фруктов, а продали 120 + 140 = 260 кг. Разность 375 - 260 = 115 кг показывает общий остаток. Оба способа приводят к одному ответу.
Равенство результатов объясняется свойством разности сумм: (200 - 120) + (175 - 140) = (200 + 175) - (120 + 140). В левой части сначала найдены два остатка, а в правой из всей привезённой массы вычтена вся проданная масса.
Шаг 2. Решаем вторую задачу для пятидневной и шестидневной недели.
При пяти рабочих днях за первую неделю расходуют 70 · 5 = 350 л, за вторую - 80 · 5 = 400 л. Вместе это 350 + 400 = 750 л. При шести рабочих днях расходы равны 70 · 6 = 420 л и 80 · 6 = 480 л; всего 420 + 480 = 900 л.
Можно сначала сложить суточные расходы двух недель: 70 + 80 = 150 л. Тогда 150 · 5 = 750 л, а 150 · 6 = 900 л. Этот способ основан на распределительном свойстве: 70 · n + 80 · n = (70 + 80) · n. Результаты обоих способов совпадают.
Число рабочих дней в обеих неделях одинаково, поэтому общий множитель можно вынести за скобки. При n = 5 получаем (70 + 80) · 5 = 750, при n = 6 получаем (70 + 80) · 6 = 900. Так учитывается расход каждой недели и не смешиваются варианты режима работы.