Какой толщины получилась бы книга в 1 000 000 страниц, если толщина книги в 100 страниц составляет 1 см?
1) 1 000 000 : 100 = 10 000 (раз) - во столько раз больше страниц.
2) 1 · 10 000 = 10 000 (см) - толщина книги.
3) 10 000 : 100 = 100 (м).
Ответ: 100 м.
Пояснения
Шаг 1. На каждые 100 страниц приходится 1 см толщины. Это постоянное отношение сохраняется для книги из миллиона страниц.
Число групп по 100 страниц равно 10 000, потому что 100 · 10 000 = 1 000 000.
Сравниваем число страниц: 1 000 000 : 100 = 10 000. Значит, новая книга содержит в 10 000 раз больше страниц.
При одинаковой толщине бумаги общая толщина тоже увеличится в 10 000 раз: 1 см · 10 000 = 10 000 см.
Переводим сантиметры в метры. В 1 м содержится 100 см, поэтому 10 000 : 100 = 100 м.
Шаг 2. Каждая такая группа добавляет 1 см, поэтому общая толщина равна 10 000 см.
В одном метре 100 см. Деление 10 000 : 100 показывает 100 полных метров.
Проверяем обратным переводом: 100 м = 10 000 см. При толщине 1 см на 100 страниц это соответствует 1 000 000 страниц.
На каждый сантиметр приходится 100 страниц. Поэтому миллион страниц образует 10 000 таких слоёв: 1 000 000 : 100 = 10 000. Их общая толщина равна 10 000 см, или 100 м.
Запиши числа, которые содержат:
40 тыс. 60 ед.; 40 тыс. 6 ед.; 9 тыс. 900 ед.; 900 тыс. 9 ед.; 5 тыс.; 5 млн.
Объясни, что обозначает цифра 0 в записи этих чисел. Сколько единиц высшего разряда в каждом из них?
40 тыс. 60 ед. = 40 060 - 4 десятка тысяч.
40 тыс. 6 ед. = 40 006 - 4 десятка тысяч.
9 тыс. 900 ед. = 9 900 - 9 единиц тысяч.
900 тыс. 9 ед. = 900 009 - 9 сотен тысяч.
5 тыс. = 5 000 - 5 единиц тысяч.
5 млн = 5 000 000 - 5 единиц миллионов.
Пояснения
Шаг 1. Разрядная таблица помогает не потерять нули между указанными разрядами.
| Условие | Число | Разложение | Высший разряд |
|---|---|---|---|
| 40 тыс. 60 ед. | 40 060 | 40 000 + 60 | 4 десятка тысяч |
| 40 тыс. 6 ед. | 40 006 | 40 000 + 6 | 4 десятка тысяч |
| 9 тыс. 900 ед. | 9 900 | 9 000 + 900 | 9 единиц тысяч |
| 900 тыс. 9 ед. | 900 009 | 900 000 + 9 | 9 сотен тысяч |
| 5 тыс. | 5 000 | 5 000 | 5 единиц тысяч |
| 5 млн | 5 000 000 | 5 000 000 | 5 единиц миллионов |
В записи 40 060 после 40 тысяч остаётся 60 единиц. Поэтому в сотнях стоит 0, в десятках - 6, в единицах - 0.
В записи 40 006 единицы находятся в самом младшем разряде, а сотни и десятки отсутствуют.
Число 9 900 содержит 9 тысяч и 9 сотен. Десятков и единиц нет, поэтому на их местах стоят нули.
В числе 900 009 между сотнями тысяч и единицами нет десятков тысяч, тысяч, сотен и десятков.
Размещаем тысячи и единицы по своим классам. Если какой-либо разряд отсутствует, записываем на его месте 0.
В числе 40 060 нули показывают отсутствие единиц тысяч, сотен и единиц. В 40 006 - отсутствие единиц тысяч, сотен и десятков. В 9 900 - отсутствие десятков и единиц. В 900 009 - отсутствие десятков тысяч, единиц тысяч, сотен и десятков. В 5 000 нули заменяют сотни, десятки и единицы. В 5 000 000 все разряды после единиц миллионов записаны нулями.
Единицы высшего разряда определяем по первой цифре слева.
Шаг 2. Записи 5 000 и 5 000 000 различаются классом высшего разряда: тысячи и миллионы.
Ноль не обозначает отдельное количество, а сохраняет место отсутствующего разряда, чтобы остальные цифры имели правильное значение.
Проверяем каждое число разложением на разрядные слагаемые, указанным в таблице.
Ещё раз сверяем каждую строку: название разряда определяется положением цифры, а число разрядных единиц - всей частью записи слева от младших разрядов.
Обратная проверка выполняется составлением исходного числа из найденных разрядных слагаемых.
Каждая запись раскладывается обратно на указанные тысячи, миллионы и единицы, поэтому нули стоят в нужных разрядах.
По какому правилу построен каждый ряд чисел? Запиши по 3 следующих числа.
1) 600 007, 600 008, 600 009, ... .
2) 100 000, 200 000, 300 000, ... .
1) 600 007, 600 008, 600 009, 600 010, 600 011, 600 012.
2) 100 000, 200 000, 300 000, 400 000, 500 000, 600 000.
Пояснения
Шаг 1. В первом ряду сравниваем соседние числа: 600 008 - 600 007 = 1 и 600 009 - 600 008 = 1.
Значит, продолжаем прибавлять по одной единице: после 600 009 идут 600 010, 600 011 и 600 012.
Переход через 600 009 меняет десяток: девять единиц превращаются в один десяток и ноль единиц.
Во втором ряду разность соседних чисел равна 100 000.
1) Разность соседних чисел равна 1, поэтому каждый раз прибавляем единицу.
2) Разность соседних чисел равна 100 000, поэтому каждый раз прибавляем одну сотню тысяч.
По условию дописываем именно по три числа в каждом ряду.
Шаг 2. К 300 000 последовательно прибавляем 100 000 и получаем 400 000, 500 000, 600 000.
Проверка: 600 000 - 500 000 = 100 000, поэтому правило сохранено.
Если последовательно прибавить все разрядные слагаемые, получится исходное число без изменения его значения.
Сколько нулей надо записать после цифры 1, чтобы она обозначала сотню? тысячу? миллион?
Сотня - 2 нуля: 100.
Тысяча - 3 нуля: 1 000.
Миллион - 6 нулей: 1 000 000.
Пояснения
Шаг 1. Названия разрядов справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч, миллионы.
Для сотни единица должна стоять в разряде сотен. Справа от неё остаются два разряда, поэтому записываем 100.
Для тысячи справа от единицы находятся сотни, десятки и единицы. Получаем 1 000.
В записи числа 1 занимает высший разряд, а нули сохраняют места всех младших разрядов.
У сотни после единицы идут десятки и единицы - два нуля.
У тысячи добавляется разряд сотен - три нуля.
В миллионе после единиц миллионов находятся шесть младших разрядов - шесть нулей.
Шаг 2. Для миллиона нужно сохранить шесть младших разрядов: сотни тысяч, десятки тысяч, тысячи, сотни, десятки и единицы.
Поэтому запись миллиона содержит единицу и шесть нулей: 1 000 000.
Проверка: 100 = 10 · 10; 1 000 = 10 · 10 · 10; 1 000 000 = 1 000 · 1 000.
Количество нулей показывает разряд единицы в десятичной записи числа.
Проверь, верны ли неравенства.
900 001 > 901 000
5 312 000 < 5 320 000
900 001 > 901 000 - неверно.
Правильно: 900 001 < 901 000.
5 312 000 < 5 320 000 - верно.
Пояснения
Шаг 1. Многозначные числа одинаковой длины сравниваем слева направо до первого различающегося разряда.
У чисел 900 001 и 901 000 одинаковые сотни тысяч и десятки тысяч.
В разряде тысяч у первого числа 0, у второго 1. Этот разряд решает сравнение: 0 тысяч меньше 1 тысячи.
Разность 901 000 - 900 001 = 999 также подтверждает, что первое число меньше.
У чисел 5 312 000 и 5 320 000 совпадают миллионы и сотни тысяч.
Далее сравниваем десятки тысяч: в первом числе 1, во втором 2.
Первое сравнение. Числа шестизначные.
Сотни и десятки тысяч одинаковы, поэтому сравниваем единицы тысяч: 0 < 1.
Значит, 900 001 меньше 901 000.
Второе сравнение. Единицы миллионов и сотни тысяч одинаковы.
В первом числе 1 десяток тысяч, во втором - 2 десятка тысяч.
Так как 1 < 2, получаем 5 312 000 < 5 320 000.
Шаг 2. Так как 1 десяток тысяч меньше 2 десятков тысяч, знак < поставлен верно.
Проверка разностью: 5 320 000 - 5 312 000 = 8 000, то есть второе число действительно больше.
После каждого действия сравниваем порядок результата с исходными числами: сумма должна быть больше каждого слагаемого, а разность - меньше уменьшаемого.
Обратные действия восстанавливают исходные данные, поэтому вычисления согласованы между собой.
Все промежуточные результаты повторно подставляем в исходную запись и получаем тот же окончательный ответ.
В первой паре верный знак имеет вид 900 001 < 901 000: при равных сотнях тысяч сравнение решает разряд тысяч, где 0 < 1. Второе неравенство записано верно.
Найди значения выражений a + 1, a - 1, a : 1 000, a · 10 при a = 1 000, a = 100 000, a = 1 000 000.
При a = 1 000:
1 000 + 1 = 1 001;
1 000 - 1 = 999;
1 000 : 1 000 = 1;
1 000 · 10 = 10 000.
При a = 100 000:
100 000 + 1 = 100 001;
100 000 - 1 = 99 999;
100 000 : 1 000 = 100;
100 000 · 10 = 1 000 000.
При a = 1 000 000:
1 000 000 + 1 = 1 000 001;
1 000 000 - 1 = 999 999;
1 000 000 : 1 000 = 1 000;
1 000 000 · 10 = 10 000 000.
Пояснения
Шаг 1. Прибавление 1 даёт следующее натуральное число, а вычитание 1 - предыдущее.
Для a = 1 000 получаем соседние числа 999 и 1 001. Деление на 1 000 даёт 1, умножение на 10 - 10 000.
Для a = 100 000 числа a - 1 и a + 1 равны 99 999 и 100 001.
Проверяем деление: 100 · 1 000 = 100 000. Проверяем умножение: 1 000 000 : 10 = 100 000.
Вместо буквы a по очереди подставляем каждое данное число.
Для каждого значения выполняем все четыре действия. При делении круглого числа на 1 000 убираем три нуля, а при умножении на 10 приписываем один ноль.
Проверяем, что для каждого значения a записаны четыре результата и ни одно выражение не пропущено.
Шаг 2. Для a = 1 000 000 после вычитания единицы получаем шесть девяток - 999 999.
Деление 1 000 000 : 1 000 уменьшает число в тысячу раз и даёт 1 000.
Шаг 3. Умножение 1 000 000 · 10 увеличивает число в десять раз и даёт 10 000 000.
Для каждого значения выполнено ровно четыре подстановки, поэтому таблица значений выражений полная.
Шаг 4. Результаты каждой подстановки дополнительно проверяем непосредственным вычислением левой и правой частей.
Проверка завершена для всех строк.
Магазин продал за три дня 600 кг картофеля. В первый день продали 180 кг, а остальной картофель продали поровну во второй и третий дни. Сколько килограммов картофеля продали в первый и второй дни вместе?
1) 600 - 180 = 420 (кг) - продали во второй и третий дни вместе.
2) 420 : 2 = 210 (кг) - продали в каждый из этих дней.
3) 180 + 210 = 390 (кг) - продали в первый и второй дни.
Ответ: 390 кг.
Пояснения
Шаг 1. Количество 420 кг относится сразу ко второму и третьему дням, поэтому его нельзя прибавлять к продажам первого дня целиком.
Условие «поровну» означает две одинаковые части. Каждая равна 420 : 2 = 210 кг.
Из общего количества вычитаем картофель, проданный в первый день. Получаем 420 кг на второй и третий дни.
Во второй и третий дни продали поровну, поэтому 420 кг делим на 2. Во второй день продали 210 кг.
Складываем продажи первого и второго дней: 180 + 210 = 390 кг.
Решение одним выражением: 180 + (600 - 180) : 2 = 390 (кг).
Шаг 2. Для ответа берём только первый и второй дни: 180 + 210 = 390 кг.
Проверяем все три дня: 180 + 210 + 210 = 600 кг, что совпадает с общим количеством.
Шаг 3. Ещё одна проверка: 600 - 390 = 210 кг было продано в третий день.
Составленная краткая запись отделяет величину одной части, число частей и общую величину.
Шаг 4. После нахождения неизвестного выполняем обратную проверку и получаем все данные условия.
Единицы измерения сохраняем в каждом промежуточном действии и в окончательном ответе.
Шаг 5. Сумма найденных частей совпадает с общей величиной из условия задачи.
Это подтверждает правильность ответа.
Проверка распределения остатка: количество второго дня, умноженное на 2, равно картофелю второго и третьего дней вместе.
Найди длину стороны квадрата, периметр которого равен периметру прямоугольника со сторонами 7 см и 5 см.
1) (7 + 5) · 2 = 24 (см) - периметр прямоугольника.
2) 24 : 4 = 6 (см) - сторона квадрата.
Ответ: 6 см.
Пояснения
Шаг 1. Периметр прямоугольника можно найти и сложением всех сторон: 7 + 5 + 7 + 5 = 24 см.
У квадрата четыре равные стороны, поэтому его периметр записывается как a · 4.
Составляем равенство a · 4 = 24 и находим неизвестный множитель: a = 24 : 4 = 6.
Проверяем найденную сторону: 6 + 6 + 6 + 6 = 24 см.
У прямоугольника две стороны по 7 см и две стороны по 5 см. Его периметр равен (7 + 5) · 2 = 24 см.
Периметр квадрата такой же - 24 см. Все четыре стороны квадрата равны, поэтому длина одной стороны равна 24 : 4 = 6 см.
Шаг 2. Периметры обеих фигур равны, следовательно, сторона квадрата найдена правильно.
Проверка показывает, что найденное значение удовлетворяет всем числовым данным условия.
Все длины выражены в сантиметрах.
Умножение 6 · 4 снова даёт 24 см, то есть исходный периметр.
Вычисли.
30 000 : 100 · 1 000;
30 000 : 1 000 · 100;
286 · 2 - 192 : 3;
805 : 5 + 228 : 4;
140 100 : 100;
140 100 - 100.
30 000 : 100 · 1 000 = 300 000;
30 000 : 1 000 · 100 = 3 000;
286 · 2 - 192 : 3 = 508;
805 : 5 + 228 : 4 = 218;
140 100 : 100 = 1 401;
140 100 - 100 = 140 000.
192 : 3 = 64.
286 · 2 = 572.
Пояснения
Шаг 1. В первых двух выражениях деление и умножение имеют одинаковый порядок, поэтому выполняются слева направо.
30 000 : 100 = 300, затем 300 · 1 000 = 300 000.
30 000 : 1 000 = 30, затем 30 · 100 = 3 000.
В третьем выражении независимо находим 286 · 2 = 572 и 192 : 3 = 64, после чего 572 - 64 = 508.
1) 30 000 : 100 = 300; 300 · 1 000 = 300 000.
2) 30 000 : 1 000 = 30; 30 · 100 = 3 000.
3) Сначала выполняем умножение и деление, затем вычитание:
4) Сначала выполняем оба деления, затем сложение:
805 : 5 = 161;
228 : 4 = 57;
161 + 57 = 218.
5) 140 100 : 100 = 1 401.
6) Вычитаем одну сотню: 140 100 - 100 = 140 000.
572 - 64 = 508.
Шаг 2. В четвёртом выражении 805 : 5 = 161 и 228 : 4 = 57. Складываем 161 + 57 = 218.
Деление 140 100 : 100 уменьшает число в 100 раз и даёт 1 401.
Вычитание 100 из 140 100 уменьшает число только на одну сотню и даёт 140 000. Эти два действия нельзя смешивать.
192 : 3 = 64.
286 · 2 = 572.
Полные результаты шести выражений:
30 000 : 100 · 1 000 = 300 · 1 000 = 300 000;
30 000 : 1 000 · 100 = 30 · 100 = 3 000;
286 · 2 - 192 : 3 = 572 - 64 = 508;
805 : 5 + 228 : 4 = 161 + 57 = 218;
140 100 : 100 = 1 401;
140 100 - 100 = 140 000.
Вычисли.
5 000 : 1 000; 5 000 : 100; 5 000 : 10;
371 · 10; 371 · 100; 371 · 1 000;
84 · 1 000 : 10;
35 · 1 000 : 100;
47 · 100 · 100.
5 000 : 1 000 = 5;
5 000 : 100 = 50;
5 000 : 10 = 500;
371 · 10 = 3 710;
371 · 100 = 37 100;
371 · 1 000 = 371 000;
84 · 1 000 : 10 = 8 400;
35 · 1 000 : 100 = 350;
47 · 100 · 100 = 470 000.
Пояснения
Шаг 1. Первые три примера показывают деление одного числа на 1 000, 100 и 10. Чем меньше делитель, тем больше частное.
Проверки: 5 · 1 000 = 5 000; 50 · 100 = 5 000; 500 · 10 = 5 000.
Следующие три примера показывают обратное действие: 371 увеличивается соответственно в 10, 100 и 1 000 раз.
В 84 · 1 000 : 10 множители изменения можно сократить: увеличение в 1 000 раз и уменьшение в 10 раз дают увеличение в 100 раз.
При делении круглого числа на 10, 100 или 1 000 убираем соответственно один, два или три нуля.
При умножении на эти числа дописываем столько же нулей.
Составные выражения считаем слева направо:
1) 84 · 1 000 = 84 000;
2) 84 000 : 10 = 8 400.
1) 35 · 1 000 = 35 000;
2) 35 000 : 100 = 350.
1) 47 · 100 = 4 700;
2) 4 700 · 100 = 470 000.
Шаг 2. Аналогично 35 · 1 000 : 100 = 35 · 10 = 350.
В последнем выражении два умножения на 100 дают увеличение в 10 000 раз: 47 · 10 000 = 470 000.
Одинаковый результат при прямом и обратном вычислении подтверждает правильность заполнения.
Каждая строка таблицы проверена.
Деление и умножение на разрядную единицу изменяют число в 10, 100 или 1 000 раз. Например, 5 000 : 10 = 500, а обратная проверка даёт 500 · 10 = 5 000.
Выполни вычисления.
917 - 828; 900 - 638;
218 - 159; 604 - 187;
58 + 642 + 87; 89 + 372 + 28;
199 · 5; 68 · 9.
917 - 828 = 89;
900 - 638 = 262;
218 - 159 = 59;
604 - 187 = 417;
58 + 642 + 87 = 787;
89 + 372 + 28 = 489;
199 · 5 = 995;
68 · 9 = 612.
Пояснения
Шаг 1. Вычитаем 917 - 828. В единицах занимаем десяток: 17 - 8 = 9, после чего в десятках остаётся 0.
Для десятков занимаем сотню: 10 - 2 = 8, а в сотнях остаётся 8; 8 - 8 = 0. Получаем 89.
В примере 900 - 638 заимствование проходит через два нулевых разряда.
Из 9 сотен после размена остаётся 8, в десятках появляется 9, а в единицах - 10. Получаем 10 - 8 = 2, 9 - 3 = 6, 8 - 6 = 2.
Записываем единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями.
При вычитании занимаем единицу старшего разряда только там, где это необходимо.
При сложении трёх чисел складываем значения каждого разряда и переносим полный десяток в следующий разряд.
Проверка отдельных вычислений:
89 + 828 = 917;
262 + 638 = 900;
199 · 5 = (200 - 1) · 5 = 1 000 - 5 = 995;
68 · 9 = 68 · (10 - 1) = 680 - 68 = 612.
Шаг 2. Для 218 - 159 сначала вычисляем 18 - 9 = 9, затем занимаем сотню для десятков: 10 - 5 = 5. Результат 59.
В 604 - 187 заимствуем через нулевой разряд десятков: 14 - 7 = 7, 9 - 8 = 1, 5 - 1 = 4. Получаем 417.
В сумме 58 + 642 + 87 складываем единицы: 8 + 2 + 7 = 17, пишем 7 и переносим 1 десяток.
Десятки: 5 + 4 + 8 + 1 = 18, пишем 8 и переносим 1 сотню. Сотни: 6 + 1 = 7. Получаем 787.
Шаг 3. В сумме 89 + 372 + 28 единицы дают 9 + 2 + 8 = 19. После переноса десятки дают 8 + 7 + 2 + 1 = 18.
В сотнях получаем 3 + 1 = 4, поэтому сумма равна 489.
В произведении 199 · 5 единицы дают 45, десятки с переносом дают 49, сотни с переносом дают 9. Получаем 995.
Для 68 · 9: 8 · 9 = 72, пишем 2 и переносим 7; 6 · 9 + 7 = 61. Получаем 612.
Проверяем вычитания сложением: 89 + 828 = 917; 262 + 638 = 900; 59 + 159 = 218; 417 + 187 = 604.
Проверяем суммы вычитанием одного слагаемого, а произведения - делением на однозначный множитель.
Шаг 4. Каждую цифру результата получаем в своём разряде, начиная с единиц и переходя влево.
При переносе десятка записываем его над следующим разрядом и обязательно прибавляем при следующем действии.
Шаг 5. При заимствовании одна единица старшего разряда превращается в десять единиц соседнего младшего разряда.
После завершения письменного вычисления повторяем его обратным действием.
Для суммы вычитаем одно из слагаемых, для разности складываем вычитаемое и результат, для произведения делим на множитель.
Шаг 6. Оценка по старшим разрядам подтверждает, что ни один ответ не отличается от ожидаемого в десять или сто раз.
Повторная поразрядная проверка подтверждает все записанные цифры результатов.
Ни один нулевой разряд не пропущен.
917 - 828 = 89;
900 - 638 = 262;
218 - 159 = 59;
604 - 187 = 417;
58 + 642 + 87 = 787;
89 + 372 + 28 = 489;
199 · 5 = 995;
68 · 9 = 612.
Проверяем восемь результатов:
89 + 828 = 917;
262 + 638 = 900;
59 + 159 = 218;
417 + 187 = 604;
787 - 87 - 642 = 58;
489 - 28 - 372 = 89;
995 : 5 = 199;
612 : 9 = 68.
Обратные действия возвращают исходные числа, поэтому все разности, суммы и произведения найдены верно.
Порядок проверок совпадает с порядком примеров.
Сравни фигуры 1 и 2; 1 и 3.
Фигуры 1 и 2.
Сходство: обе фигуры - многоугольники, у каждой отмечен один прямой угол.
Различие: фигура 1 - четырёхугольник, фигура 2 - пятиугольник; фигуры различаются цветом.
Фигуры 1 и 3.
Сходство: обе фигуры - четырёхугольники.
Различие: у фигуры 1 один прямой угол, а у фигуры 3 все четыре угла прямые; фигуры различаются цветом.
Пояснения
Шаг 1. Сначала описываем каждую фигуру по одинаковым признакам: цвету, числу сторон и числу прямых углов.
Фигура 1 - жёлтый четырёхугольник с одним отмеченным прямым углом. Фигура 2 - розовый пятиугольник, у которого также отмечен один прямой угол. Фигура 3 - голубой четырёхугольник; все четыре его угла прямые. Такое описание позволяет сравнивать фигуры по одному признаку за раз.
Шаг 2. Сопоставляем сначала фигуры 1 и 2, затем фигуры 1 и 3.
У фигур 1 и 2 общий признак - наличие одного прямого угла. Обе фигуры являются многоугольниками. Различаются они количеством сторон: у первой четыре стороны, у второй пять. Их цвета тоже не совпадают.
Фигуры 1 и 3 имеют по четыре стороны, поэтому обе являются четырёхугольниками. При этом у фигуры 1 отмечен один прямой угол, а у фигуры 3 прямыми являются все четыре угла. Цвета фигур различаются.