Замени каждое число суммой разрядных слагаемых: 205; 205 000; 205 040; 1 648; 640 008; 164 800.
205 = 200 + 5;
205 000 = 200 000 + 5 000;
205 040 = 200 000 + 5 000 + 40;
1 648 = 1 000 + 600 + 40 + 8;
640 008 = 600 000 + 40 000 + 8;
164 800 = 100 000 + 60 000 + 4 000 + 800.
Пояснения
Шаг 1. Сначала определяем разряд каждой ненулевой цифры. Таблица помогает сопоставить цифры с их разрядными значениями.
| Число | Старшая цифра | Следующая ненулевая | Младшие ненулевые | Разрядная сумма |
|---|---|---|---|---|
| 205 | 2 | 0 | 5 | 200 + 5 |
| 205 000 | 2 | 0 | 5 | 200 000 + 5 000 |
| 205 040 | 2 | 5 | 4 | 200 000 + 5 000 + 40 |
| 1 648 | 1 | 6 | 4 и 8 | 1 000 + 600 + 40 + 8 |
| 640 008 | 6 | 4 | 8 | 600 000 + 40 000 + 8 |
| 164 800 | 1 | 6 и 4 | 8 | 100 000 + 60 000 + 4 000 + 800 |
В числе 205 цифра 2 обозначает 2 сотни, а цифра 5 - 5 единиц. Нулевой разряд десятков в сумму не включаем.
Получаем 205 = 200 + 5.
В числе 205 000 те же цифры находятся в классе тысяч: 2 обозначает 200 000, а 5 - 5 000.
Поэтому 205 000 = 200 000 + 5 000.
В числе 205 040 дополнительно есть 4 десятка, или 40. Записываем 200 000 + 5 000 + 40.
Шаг 2. Число 1 648 содержит 1 тысячу, 6 сотен, 4 десятка и 8 единиц.
Складываем разрядные значения: 1 000 + 600 + 40 + 8 = 1 648.
В числе 640 008 ненулевые цифры занимают разряды сотен тысяч, десятков тысяч и единиц.
Разрядная сумма равна 600 000 + 40 000 + 8. Нулевые разряды тысяч, сотен и десятков не записываем.
Число 164 800 содержит 100 000, 60 000, 4 000 и 800.
Проверяем каждую запись сложением. Все суммы дают исходные числа.
Вычисли: 90 000 + 3 000 + 1; 300 206 − 300 000 − 6.
90 000 + 3 000 + 1 = 93 000 + 1 = 93 001;
300 206 − 300 000 − 6 = 206 − 6 = 200.
Пояснения
Шаг 1. В первом выражении складываем разрядные слагаемые. Сначала объединяем десятки тысяч и единицы тысяч.
90 000 + 3 000 = 93 000.
Прибавляем одну единицу: 93 000 + 1 = 93 001.
В записи результата сохраняем два нуля между тысячами и единицами, потому что сотен и десятков нет.
Во втором выражении действия одной ступени выполняем слева направо.
Шаг 2. Из 300 206 вычитаем 300 000. Убираем весь разряд сотен тысяч и получаем 206.
Затем из 206 вычитаем 6 единиц и получаем 200.
Проверяем первое значение разложением: 93 001 = 90 000 + 3 000 + 1.
Проверяем второе значение обратными действиями: 200 + 6 + 300 000 = 300 206.
Сколько цифр потребуется для записи числа, высший разряд которого - сотни тысяч? десятки тысяч?
Высший разряд - сотни тысяч: 6 цифр, например 100 000.
Высший разряд - десятки тысяч: 5 цифр, например 34 567.
Пояснения
Шаг 1. Разряды считают справа налево: единицы, десятки, сотни, единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч.
Каждый разряд в записи числа занимает одну позицию и обозначается одной цифрой.
Если высший разряд - сотни тысяч, в числе присутствуют все позиции от единиц до сотен тысяч.
Перечисляем их: единицы, десятки, сотни, единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч. Всего шесть позиций.
Наименьшее такое число - 100 000. В его записи шесть цифр.
Любое число от 100 000 до 999 999 также является шестизначным.
Шаг 2. Если высший разряд - десятки тысяч, позиция сотен тысяч отсутствует.
Остаются пять позиций: единицы, десятки, сотни, единицы тысяч и десятки тысяч.
Например, число 34 567 имеет высший разряд десятков тысяч и записывается пятью цифрами.
Наименьшее пятизначное число - 10 000, а наибольшее - 99 999.
Итак, для сотен тысяч нужны 6 цифр, а для десятков тысяч - 5 цифр.
Вставь числа, пропущенные при счёте: 9 997, 9 998, ..., 10 001, 10 002.
9 997, 9 998, 9 999, 10 000, 10 001, 10 002.
Пропущены числа 9 999 и 10 000.
Пояснения
Шаг 1. Натуральные числа при счёте располагаются по порядку, и каждое следующее число на 1 больше предыдущего.
После 9 997 идёт 9 998, что уже указано в условии.
К 9 998 прибавляем 1 и получаем первое пропущенное число: 9 998 + 1 = 9 999.
К 9 999 прибавляем ещё 1. Девять единиц превращаются в 0 единиц с переносом десятка.
Такой перенос последовательно проходит через разряды десятков, сотен и тысяч, потому что во всех них стоят девятки.
Появляется новый разряд десятков тысяч, поэтому 9 999 + 1 = 10 000.
Шаг 2. После 10 000 при счёте идёт 10 001, что совпадает со следующим данным числом.
Затем идёт 10 002, поэтому других пропущенных чисел между указанными границами нет.
Проверяем соседние пары вычитанием: разность каждого следующего и предыдущего числа равна 1.
Заполняем ряд полностью: 9 997, 9 998, 9 999, 10 000, 10 001, 10 002.
Ответ содержит два числа - 9 999 и 10 000.
Выпиши названия всех равных отрезков. Найди периметр и площадь прямоугольника ABCD.
AD = BC; AB = CD; AC = BD; AK = BK = CK = DK.
P = 2 · 3 + 2 · 5 = 6 + 10 = 16 см.
S = 5 · 3 = 15 см2.
Пояснения
Шаг 1. У прямоугольника противоположные стороны равны. Поэтому вертикальные стороны AD и BC имеют одинаковую длину 3 см.
Горизонтальные стороны AB и CD также равны, длина каждой составляет 5 см.
Диагонали прямоугольника равны, поэтому AC = BD.
Диагонали пересекаются в точке K и делятся этой точкой пополам.
Шаг 2. Половины одной диагонали равны: AK = CK. Половины другой диагонали также равны: BK = DK.
Так как целые диагонали AC и BD равны, их половины имеют одинаковую длину. Получаем AK = BK = CK = DK.
Периметр - это сумма длин всех четырёх сторон прямоугольника.
Складываем стороны: 3 + 5 + 3 + 5 = 16 см.
Шаг 3. Можно сгруппировать равные стороны: P = 2 · 3 + 2 · 5 = 6 + 10 = 16 см.
Для площади умножаем длину на ширину: S = 5 · 3 = 15 см2.
В ответе периметр измеряем в сантиметрах, а площадь - в квадратных сантиметрах.
Проверяем: две стороны по 5 см дают 10 см, две стороны по 3 см дают 6 см, всего 16 см.
Составь и реши задачу по таблице.
| Расход за 1 день | Количество дней | Всего израсходовали |
|---|---|---|
| 10 кг | ? | 80 кг |
Задача. На фабрике каждый день расходовали по 10 кг сахара. За сколько дней израсходовали 80 кг сахара?
80 : 10 = 8 (дней).
Ответ: 80 кг сахара израсходовали за 8 дней.
Пояснения
Шаг 1. Составляем условие по трём данным таблицы: расход за один день равен 10 кг, количество дней неизвестно, общий расход равен 80 кг.
В тексте задачи сохраняем смысл величин и задаём вопрос о неизвестном количестве дней.
Каждый день расходовали одинаковую массу сахара, поэтому общий расход состоит из равных частей по 10 кг.
Связь величин можно записать так: расход за 1 день · количество дней = общий расход.
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
Шаг 2. Делим общий расход на ежедневный: 80 : 10 = 8.
Полученное число показывает количество одинаковых дневных порций по 10 кг.
Подписываем единицу результата - дни, потому что именно количество дней искали в задаче.
Проверяем умножением: 10 · 8 = 80 кг.
Проверка совпала с общим расходом из таблицы, значит, задача составлена и решена верно.
Шаг 3. Ответ формулируем полным предложением: 80 кг сахара израсходовали за 8 дней.
Все три величины согласованы: 10 кг в день, 8 дней и 80 кг всего.
Если бы число дней было другим, произведение 10 кг на количество дней не равнялось бы 80 кг.
Итоговое действие деления напрямую находит неизвестный столбец таблицы.
В январе было 14 солнечных дней, в феврале - на 6 дней меньше, чем в январе, а в марте - в 2 раза больше, чем в феврале. Поставь вопрос и реши задачу.
Вопрос: сколько солнечных дней было за три месяца?
1) 14 − 6 = 8 (дней) - в феврале.
2) 8 · 2 = 16 (дней) - в марте.
3) 14 + 8 + 16 = 38 (дней) - всего.
Ответ: за три месяца было 38 солнечных дней.
Решение выражением: 14 + (14 − 6) + (14 − 6) · 2 = 38.
Пояснения
Шаг 1. В условии известны данные о январе и связи февраля и марта с предыдущими величинами. Можно поставить вопрос об общем количестве солнечных дней.
Краткая запись: январь - 14 дней; февраль - на 6 дней меньше января; март - в 2 раза больше февраля; всего - неизвестно.
Слова «на 6 дней меньше» указывают на вычитание.
Шаг 2. Находим февраль: 14 − 6 = 8 солнечных дней.
Слова «в 2 раза больше» означают, что число февральских дней нужно умножить на 2.
Находим март: 8 · 2 = 16 солнечных дней.
Шаг 3. Теперь известны данные всех трёх месяцев: 14, 8 и 16 дней.
Чтобы ответить на поставленный вопрос, складываем количества солнечных дней: 14 + 8 + 16 = 38.
Подписываем результат словом «дней», потому что складывали одинаковые величины.
Проверяем февраль: 8 + 6 = 14, значит, в феврале действительно на 6 дней меньше, чем в январе.
Проверяем март: 16 : 8 = 2, значит, мартовское число в 2 раза больше февральского.
Шаг 4. Все действия можно объединить в одно выражение: 14 + (14 − 6) + (14 − 6) · 2.
Шаг 5. Сначала дважды используем разность 14 − 6 = 8, затем умножаем вторую такую разность на 2.
Получаем 14 + 8 + 16 = 38. Ответ соответствует поставленному вопросу о трёх месяцах.
Построй диаграмму количества солнечных дней по месяцам, используя решение задачи 117. Обозначай 2 дня одной клеткой.
Январь: 14 : 2 = 7 клеток;
февраль: 8 : 2 = 4 клетки;
март: 16 : 2 = 8 клеток.
Пояснения
Шаг 1. Берём результаты задачи 117: в январе было 14 солнечных дней, в феврале 8, в марте 16.
По условию одна клетка диаграммы обозначает 2 солнечных дня. Это масштаб построения.
Шаг 2. Высота февральского столбика равна 8 : 2 = 4 клетки.
Высота мартовского столбика равна 16 : 2 = 8 клеток.
По горизонтали располагаем названия месяцев, а по вертикали отмечаем количество солнечных дней через каждые 2 дня.
Шаг 3. Строим три столбика высотой 7, 4 и 8 клеток. Над столбиками подписываем реальные значения 14, 8 и 16 дней.
Проверяем масштаб обратным действием: 7 · 2 = 14, 4 · 2 = 8, 8 · 2 = 16.
Самый высокий столбик относится к марту, а самый низкий - к февралю, что соответствует данным задачи.
Проверь, верны ли неравенства:
99 · 9 < 691;
207 · 4 > 820;
209 > 872 : 8;
125 < 945 : 7;
68 < 774 : 9;
160 > 996 : 6.
99 · 9 < 691 - неверно: 99 · 9 = 891, а 891 > 691.
207 · 4 > 820 - верно: 207 · 4 = 828, и 828 > 820.
209 > 872 : 8 - верно: 872 : 8 = 109, и 209 > 109.
125 < 945 : 7 - верно: 945 : 7 = 135, и 125 < 135.
68 < 774 : 9 - верно: 774 : 9 = 86, и 68 < 86.
160 > 996 : 6 - неверно: 996 : 6 = 166, а 160 < 166.
Пояснения
Шаг 1. Чтобы проверить числовое неравенство, сначала вычисляем значение выражения в одной из его частей, затем сравниваем полученные числа.
Для первого неравенства находим 99 · 9 = (100 − 1) · 9 = 900 − 9 = 891.
Сравниваем 891 и 691: 891 больше 691, поэтому запись со знаком «меньше» неверна.
Во втором неравенстве 207 · 4 = 800 + 28 = 828. Число 828 больше 820, неравенство верно.
Для третьего неравенства вычисляем 872 : 8 = 109, поскольку 109 · 8 = 872.
Сравнение 209 > 109 верно.
В четвёртом неравенстве 945 : 7 = 135, потому что 135 · 7 = 945.
Шаг 2. Число 125 меньше 135, значит, четвёртое неравенство верно.
Для пятого неравенства 774 : 9 = 86. Проверка: 86 · 9 = 774.
Сравниваем 68 и 86: 68 меньше 86, поэтому знак поставлен правильно.
В последнем неравенстве 996 : 6 = 166, так как 166 · 6 = 996.
Число 160 меньше 166, а в условии стоит знак «больше». Поэтому шестое неравенство неверно.
Итог: верны второе, третье, четвёртое и пятое неравенства. Первое и шестое нужно исправить, изменив знак сравнения.
Узнай, какие числа прячутся под треугольником, квадратом и кругом. Во всех равенствах одна и та же фигура обозначает одно и то же число.
△ + □ = 120;
□ + ○ = 230;
△ + 230 = 300.
△ = 300 − 230 = 70.
□ = 120 − 70 = 50.
○ = 230 − 50 = 180.
Проверка: 70 + 50 = 120; 50 + 180 = 230; 70 + 230 = 300.
Ответ: △ = 70, □ = 50, ○ = 180.
Пояснения
Шаг 1. Начинаем с третьего равенства, потому что в нём известны сумма 300 и одно слагаемое 230.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитаем известное слагаемое.
Шаг 2. Находим число под треугольником: △ = 300 − 230 = 70.
Подставляем 70 вместо треугольника в первое равенство: 70 + □ = 120.
Шаг 3. Находим неизвестное слагаемое: □ = 120 − 70 = 50.
Теперь используем второе равенство и заменяем квадрат числом 50: 50 + ○ = 230.
Шаг 4. Вычитаем известное слагаемое из суммы: ○ = 230 − 50 = 180.
Проверяем первое равенство: 70 + 50 = 120.
Проверяем второе равенство: 50 + 180 = 230.
Проверяем третье равенство: 70 + 230 = 300.
Шаг 5. Все три равенства верны с найденными значениями, поэтому треугольник обозначает 70, квадрат - 50, круг - 180.
Вычисли: 600 000 + 1 000 + 30; 905 340 − 900 000 − 300.
600 000 + 1 000 + 30 = 601 000 + 30 = 601 030;
905 340 − 900 000 − 300 = 5 340 − 300 = 5 040.
Пояснения
Шаг 1. В первом выражении складываем разрядные слагаемые.
Сначала к 600 тысячам прибавляем 1 тысячу: 600 000 + 1 000 = 601 000.
Затем прибавляем 30 единиц: 601 000 + 30 = 601 030.
Ноль в разряде сотен и ноль в разряде единиц сохраняют правильные позиции цифр.
Во втором выражении вычитания выполняем слева направо.
Из 905 340 вычитаем 900 000 и получаем 5 340.
Затем уменьшаем число на 300: 5 340 − 300 = 5 040.
Проверяем первый результат разложением: 601 030 = 600 000 + 1 000 + 30.
Проверяем второй результат сложением вычтенных частей: 5 040 + 300 + 900 000 = 905 340.
Итоговые значения равны 601 030 и 5 040.