1) Вычисли:
600 − 60 : 6 : 2
(600 − 60) : 6 : 2
960 − 640 : (4 + 4) · 2
(960 − 640) : 4 + 4 · 2
2) Найди суммы:
176 + 218 + 206;
295 + 217 + 488.
1)
600 − 60 : 6 : 2 = 595.
(600 − 60) : 6 : 2 = 45.
960 − 640 : (4 + 4) · 2 = 800.
(960 − 640) : 4 + 4 · 2 = 88.
2)
176 + 218 + 206 = 600
295 + 217 + 488 = 1000
Ответ: 1) 595; 45; 800; 88; 2) 600; 1000.
Пояснения
Шаг 1. В выражениях сначала выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, после них сложение и вычитание.
Действия одной ступени выполняем слева направо.
Для первого выражения вычисляем 60 : 6 = 10 и 10 : 2 = 5.
Затем 600 − 5 = 595.
Во втором выражении сначала находим значение скобок: 600 − 60 = 540.
Далее слева направо делим 540 : 6 = 90 и 90 : 2 = 45.
В третьем выражении сначала выполняем действие в скобках: 4 + 4 = 8.
После этого 640 : 8 = 80, затем 80 · 2 = 160.
Шаг 2. Последним действием получаем 960 − 160 = 800.
В четвёртом выражении сначала вычисляем 960 − 640 = 320.
Деление и умножение выполняются раньше сложения: 320 : 4 = 80 и 4 · 2 = 8.
Складываем 80 + 8 = 88.
В подпункте 2 складываем по три числа одним общим столбиком.
Для суммы 176 + 218 + 206 складываем единицы: 6 + 8 + 6 = 20.
Пишем 0 в разряде единиц и переносим 2 десятка.
Складываем десятки вместе с переносом: 7 + 1 + 0 + 2 = 10.
Шаг 3. Пишем 0 десятков и переносим 1 сотню.
В сотнях получаем 1 + 2 + 2 + 1 = 6, поэтому сумма равна 600.
Во втором столбике единицы дают 5 + 7 + 8 = 20; пишем 0 и переносим 2 десятка.
Десятки: 9 + 1 + 8 + 2 = 20; снова пишем 0 и переносим 2 сотни.
Сотни: 2 + 2 + 4 + 2 = 10 сотен, то есть 1 тысяча.
Получаем 1000. Все переносы показаны маленькими цифрами над принимающими разрядами.
176 + 218 + 206 = 600
295 + 217 + 488 = 1000
Для спортивных секций купили теннисные, футбольные и волейбольные мячи. Теннисных мячей было 240, футбольные мячи составляли третью часть теннисных, а волейбольных было в 4 раза меньше, чем футбольных. Объясни, что обозначают выражения:
240 : 3;
240 : 3 + 240;
240 : 3 : 4;
240 + 240 : 3 : 4.
240 : 3 = 80 (мячей) - футбольных.
240 : 3 + 240 = 80 + 240 = 320 (мячей) - теннисных и футбольных вместе.
240 : 3 : 4 = 80 : 4 = 20 (мячей) - волейбольных.
240 + 240 : 3 : 4 = 240 + 20 = 260 (мячей) - теннисных и волейбольных вместе.
Ответ: выражения обозначают соответственно 80 футбольных мячей, 320 теннисных и футбольных вместе, 20 волейбольных, 260 теннисных и волейбольных вместе.
Пояснения
Шаг 1. Составляем краткую запись: теннисных мячей 240, футбольных - треть этого количества, волейбольных - в 4 раза меньше футбольных.
Третья часть числа получается, если всё число разделить на 3.
Поэтому выражение 240 : 3 показывает количество футбольных мячей.
Вычисляем 240 : 3 = 80 мячей.
В выражении 240 : 3 + 240 сначала выполняется деление.
Число 80 обозначает футбольные мячи, а 240 - теннисные.
Шаг 2. Сумма 80 + 240 = 320 показывает общее количество теннисных и футбольных мячей.
Волейбольных мячей в 4 раза меньше, чем футбольных.
Чтобы уменьшить 80 в 4 раза, выполняем деление 80 : 4 = 20.
Именно поэтому цепочка 240 : 3 : 4 показывает количество волейбольных мячей.
В выражении 240 + 240 : 3 : 4 сначала выполняем два деления слева направо.
Шаг 3. Получаем 240 + 20, где 240 - теннисные мячи, а 20 - волейбольные.
Складываем 240 + 20 = 260 мячей.
Это общее количество теннисных и волейбольных мячей, футбольные в эту сумму не входят.
Проверяем связь величин: 80 · 3 = 240, значит, 80 действительно составляет треть от 240.
Проверяем вторую связь: 20 · 4 = 80, значит, волейбольных в 4 раза меньше футбольных.
Шаг 4. Можно представить 240 теннисных мячей как три равные группы по 80 мячей.
Одна такая группа и есть третья часть, поэтому футбольных мячей 80.
Далее 80 футбольных мячей делим на четыре равные группы по 20.
Одна группа соответствует количеству волейбольных мячей.
В выражении 240 : 3 + 240 слагаемые можно поменять местами: 80 + 240 = 240 + 80 = 320.
Шаг 5. В последнем выражении получаем другую сумму, потому что к 240 прибавляется 20, а не 80.
Разность общих количеств равна 320 − 260 = 60 мячей; это разница между 80 футбольными и 20 волейбольными.
Такая дополнительная проверка подтверждает смысл обоих выражений со сложением.
Каждое выражение объясняем отдельно и сохраняем порядок, заданный в условии.
В двух выражениях со сложением сначала находим неизвестный вид мячей, а затем объединяем его количество с теннисными.
В одной теплице собрали 38 кг помидоров, в другой - 50 кг. Все помидоры разложили в ящики по 8 кг. Сколько ящиков потребовалось? Измени числа так, чтобы задача решалась двумя способами, и сравни решения.
| Теплица | Собрали | В одном ящике | Количество ящиков |
|---|---|---|---|
| Первая | 38 кг | 8 кг | часть общего количества |
| Вторая | 50 кг | 8 кг | часть общего количества |
Исходная задача.
1) 38 + 50 = 88 (кг) - собрали в двух теплицах.
2) 88 : 8 = 11 (ящиков) - потребовалось.
Ответ: 11 ящиков.
Изменённое условие: в первой теплице собрали 48 кг, во второй - 40 кг. Общая масса осталась равной 88 кг.
1-й способ: (48 + 40) : 8 = 88 : 8 = 11 (ящиков).
2-й способ: 48 : 8 + 40 : 8 = 6 + 5 = 11 (ящиков).
| Теплица | Собрали | В одном ящике | Количество ящиков |
|---|---|---|---|
| Первая | 48 кг | 8 кг | 6 |
| Вторая | 40 кг | 8 кг | 5 |
| Всего | 88 кг | 8 кг | 11 |
Ответ: оба способа дают 11 ящиков.
Пояснения
Шаг 1. Составляем таблицу и отделяем массу помидоров от количества ящиков.
В исходной задаче сначала нужно узнать общую массу урожая двух теплиц.
Складываем 38 + 50 = 88 кг.
Каждый ящик вмещает 8 кг, поэтому количество ящиков находим делением общей массы на 8.
Выполняем 88 : 8 = 11 ящиков.
Проверяем результат: 11 · 8 = 88 кг, что совпадает с общей массой.
Шаг 2. Для решения вторым способом массу каждой теплицы пришлось бы отдельно разделить на 8.
Числа 38 и 50 не делятся на 8 без остатка, поэтому для исходных данных такой способ неудобен.
Изменяем числа, сохраняя общую массу 88 кг и делимость каждой части на 8.
Выбираем 48 кг и 40 кг: 48 + 40 = 88 кг.
Оба новых числа делятся на 8 без остатка.
Шаг 3. Первый способ повторяет прежний порядок: сначала 48 + 40 = 88, затем 88 : 8 = 11.
Полная запись первого способа: (48 + 40) : 8 = 11 ящиков.
Во втором способе отдельно находим ящики для каждой теплицы.
Для первой теплицы 48 : 8 = 6 ящиков.
Для второй теплицы 40 : 8 = 5 ящиков.
Шаг 4. Складываем количества: 6 + 5 = 11 ящиков.
Полная запись второго способа: 48 : 8 + 40 : 8 = 11.
Сравниваем ответы: оба способа дали одно и то же число 11.
Равенство способов связано с распределительным свойством деления суммы: (48 + 40) : 8 = 48 : 8 + 40 : 8.
Пользоваться вторым способом можно здесь потому, что каждое слагаемое делится на 8.
Шаг 5. В таблице показываем отдельно 6 и 5 ящиков, а в строке «Всего» - 11.
Первый способ удобен тем, что требуется только одно деление после нахождения общей массы.
Второй способ удобен, когда массы из каждой теплицы сразу делятся на вместимость одного ящика.
Во втором способе сначала распределяем урожай каждой теплицы отдельно, а затем складываем уже не килограммы, а ящики.
Единицы измерения помогают проверить логику: до деления складываются килограммы, после деления складываются количества ящиков.
Шаг 6. Нельзя складывать 48 кг с 5 ящиками, потому что это разные величины.
Проверяем заполнение: шесть ящиков по 8 кг вмещают 48 кг, а пять ящиков по 8 кг - 40 кг.
Вместе 6 + 5 = 11 ящиков, которые вмещают 11 · 8 = 88 кг.
Так оба маршрута вычислений возвращают одну и ту же общую массу урожая.
Изменённые данные не меняют итог исходной задачи, но позволяют наглядно сравнить два способа.
1) Ученик затратил на решение задачи 6 мин, а на решение каждого из 8 примеров - по 3 мин. Сколько всего времени он затратил? На какой вопрос отвечает выражение 3 · 8 − 6?
2) Заметь по часам и запиши, сколько времени тебе потребовалось на выполнение домашней работы по математике.
1)
Задача - 6 мин.
Примеры - 8 примеров по 3 мин.
Всего - неизвестно.
1) 3 · 8 = 24 (мин) - решение восьми примеров.
2) 24 + 6 = 30 (мин) - выполнение всего задания.
Ответ: ученик затратил 30 минут.
3 · 8 − 6 = 24 − 6 = 18 (мин) - на столько дольше ученик решал примеры, чем задачу.
2) Ответ индивидуальный. Например, начало - 17 ч 20 мин, окончание - 18 ч 00 мин.
18 ч 00 мин − 17 ч 20 мин = 17 ч 60 мин − 17 ч 20 мин = 40 мин.
Ответ в примере: 40 минут.
Пояснения
Шаг 1. Составляем краткое условие первого подпункта и разделяем время на задачу и примеры.
На один пример уходит 3 минуты, а примеров всего 8.
Восемь одинаковых промежутков времени находим умножением: 3 · 8 = 24 минуты.
Число 24 показывает время только на примеры.
Полное домашнее задание включает и примеры, и задачу.
Прибавляем 6 минут на задачу: 24 + 6 = 30 минут.
Шаг 2. Можно записать одним выражением: 6 + 3 · 8 = 6 + 24 = 30 минут.
Умножение выполняется раньше сложения, поэтому скобки вокруг 3 · 8 необязательны.
Проверяем сумму частей: 6 минут и 24 минуты вместе действительно дают 30 минут.
Отдельно объясняем выражение 3 · 8 − 6.
Первая его часть снова равна 24 минутам на примеры.
Вычитание 24 − 6 сравнивает время на примеры со временем на задачу.
Шаг 3. Получаем 18 минут - настолько дольше выполнялись примеры.
Во втором подпункте ученик записывает собственные показания часов до и после работы.
Для образца берём начало в 17 ч 20 мин и окончание в 18 ч 00 мин.
Чтобы вычесть 20 минут из 00 минут, занимаем один час.
Время 18 ч 00 мин представляем как 17 ч 60 мин.
Вычитаем часы и минуты: 17 ч 60 мин − 17 ч 20 мин = 40 мин.
Проверяем прибавлением: 17 ч 20 мин + 40 мин = 18 ч 00 мин.
Шаг 4. Если работа пересекает границу часа, минуты можно считать и по частям: от 17:20 до 18:00 проходит 40 минут.
При собственном измерении важно записывать время начала и окончания в одном формате.
В тетради пример нужно заменить фактическим временем начала и окончания своей работы.
Оба подпункта сохраняем отдельно: первый имеет точный ответ, второй зависит от личных измерений.
Разбей печатные буквы М, Ж, Х, Ш, Б, Щ, Ц, Г на две группы по наличию вертикальной оси симметрии.
Есть вертикальная ось симметрии: М, Ж, Х, Ш.
Нет вертикальной оси симметрии: Б, Щ, Ц, Г.
Ответ: М, Ж, Х, Ш; Б, Щ, Ц, Г.
Пояснения
Шаг 1. Рассматриваем буквы как геометрические фигуры в том печатном начертании, которое дано в учебнике.
Мысленно проводим вертикальную прямую через середину каждой буквы.
Если левая половина при отражении совпадает с правой, эта прямая является осью симметрии.
У букв М, Ж, Х и Ш левая и правая части совпадают.
Шаг 2. Поэтому эти четыре буквы относим в первую группу.
У букв Б, Щ, Ц и Г половины не совпадают из-за выступов или разной формы сторон.
Эти буквы составляют вторую группу.
Получились две группы по одному общему признаку: наличию или отсутствию вертикальной оси симметрии.
Как получить число, которое при счёте следует сразу за любым данным натуральным числом?
К данному натуральному числу нужно прибавить 1.
Общая запись: n + 1.
Например: после 428 следует 429, потому что 428 + 1 = 429.
Ответ: прибавить единицу.
Пояснения
Шаг 1. Натуральные числа используются при счёте: 1, 2, 3, 4 и так далее.
Каждое следующее число в натуральном ряду больше предыдущего на единицу.
Между двумя соседними натуральными числами нет другого натурального числа.
Поэтому число, идущее сразу после данного, получаем прибавлением 1.
Если данное число обозначить буквой n, следующее число записывается как n + 1.
Проверим на числе 428: 428 + 1 = 429.
Шаг 2. При счёте после 428 действительно произносится 429.
Ещё один пример: после 999 следует 1000, потому что 999 + 1 = 1000.
При переходе через разряд правило не меняется: всё равно прибавляется одна единица.
Вычитание 1 выполняло бы обратную задачу и давало предыдущее, а не следующее число.
Следовательно, для любого натурального числа действует одно правило - прибавить 1.
Число n + 1 всегда следует непосредственно за натуральным числом n.
Прочитай и заполни пропуски в соотношениях между единицами, десятками, сотнями и тысячами.
10 ед. = 1 дес.
10 дес. = 1 сот.
10 сот. = 1 тыс.
1 сот. = 100 ед.
1 сот. = 10 дес.
1 тыс. = 1000 ед.
1 тыс. = 100 дес.
1 тыс. = 10 сот.
Ответ: все восемь пропусков заполнены единицами соответствующих разрядов.
Пояснения
Шаг 1. В десятичной системе десять единиц одного разряда образуют одну единицу следующего разряда.
Десять единиц образуют один десяток: 10 ед. = 1 дес.
Десять десятков образуют одну сотню: 10 дес. = 1 сот.
Десять сотен образуют одну тысячу: 10 сот. = 1 тыс.
Чтобы выразить сотню в единицах, учитываем два перехода по разрядам.
В одной сотне 10 десятков, а в каждом десятке 10 единиц.
Поэтому 10 · 10 = 100 и 1 сот. = 100 ед.
Непосредственно из разрядного соотношения получаем 1 сот. = 10 дес.
Шаг 2. В одной тысяче 10 сотен, а в каждой сотне 100 единиц.
Вычисляем 10 · 100 = 1000, поэтому 1 тыс. = 1000 ед.
Чтобы выразить тысячу в десятках, умножаем 10 сотен на 10 десятков в каждой сотне.
Получаем 10 · 10 = 100 десятков, значит, 1 тыс. = 100 дес.
Последнее соотношение читается прямо: 1 тыс. = 10 сот.
Проверяем цепочку: 1000 ед. = 100 дес. = 10 сот. = 1 тыс.
Все равенства описывают одно и то же количество, записанное разными разрядными единицами.
Прочитай разными способами выражения: 320 + 40; 470 − 300; 80 · 5; 900 : 3.
320 + 40: сумма чисел 320 и 40; 320 плюс 40; 320 увеличить на 40.
470 − 300: разность чисел 470 и 300; 470 минус 300; 470 уменьшить на 300.
80 · 5: произведение чисел 80 и 5; 80 умножить на 5; 80 увеличить в 5 раз.
900 : 3: частное чисел 900 и 3; 900 разделить на 3; 900 уменьшить в 3 раза.
Пояснения
Шаг 1. Для каждого выражения называем действие, компоненты и изменение первого числа.
Знак + обозначает сложение, а результат сложения называется суммой.
Поэтому 320 + 40 можно прочитать как сумму чисел, как «плюс» и как увеличение на 40.
Знак − обозначает вычитание, его результат называется разностью.
Выражение 470 − 300 читается как разность, как «минус» или как уменьшение на 300.
Точка обозначает умножение, результат которого называется произведением.
Шаг 2. При умножении 80 на 5 число 80 увеличивается в 5 раз, а не на 5.
Двоеточие обозначает деление, его результат называется частным.
При делении 900 на 3 число 900 уменьшается в 3 раза.
Слова «на» и «в» различаем: увеличить на число означает сложить, увеличить в число раз - умножить.
Аналогично уменьшить на число означает вычесть, а уменьшить в несколько раз - разделить.
Все три чтения каждого выражения передают одно и то же математическое действие.
Объясни, в каком порядке должны выполняться действия по схематическим записям.
1) □ + □ − □ + □ + □ − □
2) □ · □ : □ · □ · □
3) □ + □ · □ − □ : □ + □
4) □ − ( □ + □ ) + □
5) □ − ( □ + □ ) − ( □ − □ )
6) □ − ( □ − □ · □ ) + □
7) □ − ( □ + □ : □ ) · □
8) □ : ( □ − □ ) · □
1) □ 1+ □ 2− □ 3+ □ 4+ □ 5− □
2) □ 1· □ 2: □ 3· □ 4· □
3) □ 3+ □ 1· □ 4− □ 2: □ 5+ □
4) □ 2− ( □ 1+ □ ) 3+ □
5) □ 3− ( □ 1+ □ ) 4− ( □ 2− □ )
6) □ 3− ( □ 2− □ 1· □ ) 4+ □
7) □ 4− ( □ 2+ □ 1: □ ) 3· □
8) □ 2: ( □ 1− □ ) 3· □
Ответ: синие числа над знаками показывают последовательность действий в каждой из восьми схем.
Пояснения
Шаг 1. В схеме 1 все действия - сложение и вычитание - относятся к одной ступени.
Поэтому выполняем их строго слева направо: первое сложение, вычитание, два сложения и последнее вычитание.
Шаг 2. В схеме 2 используются только умножение и деление, то есть действия одной ступени.
Их порядок также определяется направлением слева направо: умножение, деление, умножение, умножение.
Шаг 3. В схеме 3 скобок нет, но встречаются действия разных ступеней.
Сначала выполняем умножение под номером 1 и деление под номером 2.
Шаг 4. После этого слева направо выполняем сложение под номером 3, вычитание под номером 4 и сложение под номером 5.
В схеме 4 первым выполняется сложение внутри скобок.
Шаг 5. Затем вне скобок слева направо идут вычитание под номером 2 и сложение под номером 3.
В схеме 5 есть две отдельные пары скобок.
Шаг 6. Сначала считаем сложение в первых скобках, затем вычитание во вторых скобках.
После раскрытия значений скобок выполняем два внешних вычитания слева направо под номерами 3 и 4.
Шаг 7. В схеме 6 внутри скобок есть умножение и вычитание.
Умножение имеет преимущество и выполняется первым, после него выполняется вычитание внутри скобок.
Шаг 8. Затем слева направо выполняем внешнее вычитание под номером 3 и сложение под номером 4.
В схеме 7 внутри скобок сначала выполняем деление, а затем сложение.
Шаг 9. Полученное значение скобок умножаем на последний множитель - это действие 3.
Внешнее вычитание выполняем последним под номером 4.
Шаг 10. В схеме 8 первым выполняется вычитание внутри скобок.
После него деление и умножение имеют одинаковую ступень, поэтому идут слева направо под номерами 2 и 3.
Краткий порядок для всех восьми схем:
1) сложение, вычитание, сложение, сложение, вычитание;
2) умножение, деление, умножение, умножение;
3) умножение, деление, сложение, вычитание, сложение;
4) сложение в скобках, внешнее вычитание, внешнее сложение;
5) сложение в первых скобках, вычитание во вторых скобках, два внешних вычитания;
6) умножение в скобках, вычитание в скобках, внешнее вычитание, сложение;
7) деление в скобках, сложение в скобках, умножение, внешнее вычитание;
8) вычитание в скобках, деление, умножение.
Действия одной ступени выполняются слева направо. Скобки имеют преимущество, а умножение и деление без скобок выполняются раньше сложения и вычитания.
Реши ребус. Звёздочками обозначены цифры:
*** + 1 = ****
999 + 1 = 1000.
Ответ: 999 + 1 = 1000.
Пояснения
Шаг 1. Три звёздочки слева обозначают трёхзначное число, а четыре справа - четырёхзначное.
После прибавления единицы должен появиться новый разряд тысяч.
Это возможно при переходе от наибольшего трёхзначного числа к наименьшему четырёхзначному.
Наибольшее трёхзначное число равно 999.
Прибавляем одну единицу: в разряде единиц 9 + 1 образуют 10 единиц.
Полученный десяток переносится в десятки; там снова 9 + 1 образуют новый десяток.
Такой же переход происходит из десятков в сотни и из сотен в тысячи.
В результате появляется 1 тысяча, а в сотнях, десятках и единицах остаются нули.
Получаем наименьшее четырёхзначное число 1000.
Проверяем обратным действием: 1000 − 1 = 999.
Значит, звёздочки заменяются цифрами в равенстве 999 + 1 = 1000.