ГДЗ Математика 4 класс Моро учебник 1 часть — страница 11

Шаг 1. В каждом примере удобно применить переместительное свойство умножения и поставить многозначный множитель первым. Значение произведения при перестановке множителей не меняется.

Записываем однозначный множитель под единицами трёхзначного числа. Каждый разряд должен находиться строго под таким же разрядом.

Умножение в столбик начинаем с единиц, затем переходим к десяткам и сотням.

В примере 261 · 3 единицы дают 1 · 3 = 3.

Десятки дают 6 · 3 = 18 десятков. Записываем 8 десятков, а 1 сотню переносим.

Сотни: 2 · 3 + 1 = 7. Получаем 783.

В примере 187 · 4 вычисляем 7 · 4 = 28. Записываем 8 единиц и переносим 2 десятка.

Далее 8 · 4 + 2 = 34. Записываем 4 десятка и переносим 3 сотни.

Сотни: 1 · 4 + 3 = 7. Получаем 748.

В примере 173 · 5 получаем 3 · 5 = 15. Записываем 5 и переносим 1 десяток.

Десятки: 7 · 5 + 1 = 36. Записываем 6, переносим 3 сотни.

Шаг 2. Сотни: 1 · 5 + 3 = 8. Получаем 865.

В примере 247 · 4 сначала 7 · 4 = 28. Цифру 8 пишем в единицах, 2 переносим в десятки.

Затем 4 · 4 + 2 = 18. Пишем 8 десятков, 1 переносим к сотням.

Сотни: 2 · 4 + 1 = 9. Получаем 988.

В примере 349 · 2 единицы дают 9 · 2 = 18. Пишем 8, переносим 1 десяток.

Десятки: 4 · 2 + 1 = 9. Сотни: 3 · 2 = 6. Получаем 698.

Проверяем первый результат делением: 783 : 3 = 261.

Остальные проверки также возвращают многозначный множитель: 748 : 4 = 187, 865 : 5 = 173, 988 : 4 = 247, 698 : 2 = 349.

3 · 261 = 261 · 3 = 783.

4 · 187 = 187 · 4 = 748.

5 · 173 = 173 · 5 = 865.

4 · 247 = 247 · 4 = 988.

2 · 349 = 349 · 2 = 698.

Перестановка множителей не меняет произведение, поэтому записи 3 · 261 и 261 · 3 дают один результат.

Шаг 1. В первой таблице каждая тройка чисел связана равенством a · b = произведение.

Если известны оба множителя, перемножаем их: 6 · 7 = 42.

Если известны произведение и один множитель, второй множитель находим делением.

Во втором столбце 5 · b = 20, поэтому b = 20 : 5 = 4.

В третьем столбце a · 8 = 48, поэтому a = 48 : 8 = 6.

В четвёртом столбце 9 · b = 9, значит, b = 9 : 9 = 1.

В пятом столбце 7 · b = 0. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому b = 0.

В шестом столбце 0 · 5 = 0. Любое число, умноженное на ноль, даёт ноль.

Во второй таблице используется связь c : d = частное.

Если делимое и делитель известны, выполняем деление: 45 : 5 = 9.

Шаг 2. Если известны делитель и частное, делимое находим умножением: c = d · частное.

Поэтому во втором столбце c = 4 · 9 = 36.

В третьем столбце делитель неизвестен: 24 : d = 8, значит, d = 24 : 8 = 3.

В четвёртом столбце 21 : 21 = 1. При делении ненулевого числа на само себя получается 1.

В пятом столбце 18 : d = 18, поэтому d = 18 : 18 = 1.

В шестом столбце 0 : 7 = 0. Ноль можно разделить на любое ненулевое число, и результатом будет ноль.

Проверяем заполнение первой таблицы повторным умножением: 5 · 4 = 20 и 6 · 8 = 48.

Проверяем вторую таблицу делением: 36 : 4 = 9 и 24 : 3 = 8.

Делить на ноль нельзя, но в таблицах ноль нигде не является делителем.

После вычислений переносим найденные числа в соответствующие клетки, не меняя порядок столбцов.

Все зависимости можно записать равенствами:
6 · 7 = 42;
5 · 4 = 20;
6 · 8 = 48;
9 · 1 = 9;
7 · 0 = 0;
0 · 5 = 0.

Для таблицы деления:
45 : 5 = 9;
36 : 4 = 9;
24 : 3 = 8;
21 : 21 = 1;
18 : 1 = 18;
0 : 7 = 0.

Эти двенадцать равенств полностью определяют заполнение обеих таблиц.

Шаг 1. Равенства c · 0 = 0 и b · 0 = 0 показывают одно правило: произведение любого числа и нуля равно нулю.

Равенства 1 · k = k и d · 1 = d показывают другое правило: единица не изменяет число при умножении.

Буквы обозначают любые допустимые числа, поэтому правила подходят не только для приведённых примеров.

Для 304 · 3 раскладываем первый множитель на разрядные слагаемые: 304 = 300 + 4.

Умножаем каждое слагаемое: 300 · 3 = 900 и 4 · 3 = 12. Сумма равна 912.

В столбике получаем тот же результат: 4 · 3 = 12, пишем 2 и переносим 1 десяток; 0 · 3 + 1 = 1; 3 · 3 = 9.

Для 481 · 2 используем разложение 481 = 400 + 80 + 1.

Шаг 2. Получаем 800 + 160 + 2 = 962.

В столбике: 1 · 2 = 2, 8 · 2 = 16, поэтому пишем 6 десятков и переносим 1 сотню; 4 · 2 + 1 = 9 сотен.

Для 207 · 4 нулевой разряд можно не выделять в разложении: 207 = 200 + 7.

Вычисляем 200 · 4 + 7 · 4 = 800 + 28 = 828.

В столбике: 7 · 4 = 28, затем 0 · 4 + 2 = 2 десятка и 2 · 4 = 8 сотен.

Для 116 · 5 раскладываем число на 100 + 10 + 6.

Умножаем части: 500 + 50 + 30 = 580.

Шаг 3. В столбике: 6 · 5 = 30, пишем 0 и переносим 3 десятка; 1 · 5 + 3 = 8; 1 · 5 = 5.

Разложение на разрядные слагаемые объясняет смысл вычисления, а запись столбиком делает тот же порядок действий короче.

Маленькие цифры переноса размещены над разрядами, к которым они прибавляются.

Проверяем ответы делением: 912 : 3 = 304, 962 : 2 = 481, 828 : 4 = 207, 580 : 5 = 116.

Все четыре проверки возвращают первые множители, значит, произведения найдены верно.

Результаты проверяем обратными действиями, сохраняя разрядную запись чисел.

304 · 3 = 912.

481 · 2 = 962.

207 · 4 = 828.

116 · 5 = 580.

Равенства с нулём и единицей объясняют особые случаи умножения, а четыре числовых примера закрепляют обычный алгоритм.

Шаг 1. Составляем условия данной и двух обратных задач. Во всех трёх случаях используются цена, количество и общая стоимость.

Для исходной задачи известны цена одной марки и количество марок, а общая стоимость неизвестна.

Стоимость покупки равна произведению цены одного предмета на количество предметов.

Вычисляем 10 · 4 = 40 рублей.

Проверяем смысл ответа: четыре марки по 10 рублей действительно стоят 10 + 10 + 10 + 10 = 40 рублей.

Шаг 2. Составляем условие первой обратной задачи: общую стоимость 40 рублей и количество 4 марки делаем известными, а цену одной марки - неизвестной.

Чтобы найти цену одного предмета, общую стоимость делим на количество предметов.

Вычисляем 40 : 4 = 10 рублей.

Проверка первой обратной задачи: 10 · 4 = 40 рублей.

Шаг 3. Составляем условие второй обратной задачи: известны стоимость 40 рублей и цена 10 рублей, а количество марок неизвестно.

Чтобы найти количество предметов, общую стоимость делим на цену одного предмета.

Вычисляем 40 : 10 = 4 марки.

Проверка второй обратной задачи: 4 · 10 = 40 рублей.

Шаг 4. В обратных задачах результат исходной задачи становится известным числом 40.

В первой обратной задаче неизвестным становится первый множитель, а во второй - второй множитель.

Связь величин записывается так: цена · количество = стоимость.

Шаг 5. Из неё следуют два обратных правила: стоимость : количество = цена; стоимость : цена = количество.

Все три задачи описывают одну покупку и используют одни и те же числа, но каждый раз требуется найти другую величину.

Единицы измерения выбираем по вопросу: для стоимости и цены - рубли, для количества - марки.

Ответы согласованы между собой: 10 рублей, 4 марки и 40 рублей образуют верное равенство 10 · 4 = 40.

Шаг 1. Используем связь трёх величин: цена · количество = стоимость.

Составляем условие первой задачи на нахождение общей стоимости покупки.

В условии первой задачи известна цена одного мяча - 35 рублей и количество - 6 мячей.

Стоимость всех мячей неизвестна, поэтому умножаем цену одного мяча на количество мячей.

Шаг 2. Вычисляем 35 · 6 = 210 рублей.

Проверяем повторным сложением: 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35 = 210.

Ответ первой задачи записываем в рублях, потому что найдена общая стоимость.

Составляем условие второй задачи на нахождение цены одного килограмма яблок.

Шаг 3. Во второй задаче известна стоимость трёх килограммов - 186 рублей и количество - 3 кг.

Цена одного килограмма неизвестна, поэтому стоимость делим на количество.

Вычисляем 186 : 3 = 62 рубля.

Проверяем умножением: 62 · 3 = 186 рублей.

Шаг 4. Ответ второй задачи обозначает цену одной единицы товара, поэтому указываем стоимость 1 кг яблок.

Первая задача решается прямым действием умножения, а вторая - обратным действием деления.

Шаг 5. Если известны цена и количество, всегда можно найти стоимость умножением.

Если известны стоимость и количество, цену находим делением стоимости на количество.

Числа в задачах выбраны так, чтобы ответы были целыми и соответствовали условию.

Шаг 6. Обе составленные задачи содержат условие, вопрос, вычисление и полный ответ.

Проверки показывают одну и ту же связь: 35 · 6 = 210 и 62 · 3 = 186.

Так различаются задачи на стоимость и на цену: искомая величина определяет нужное действие.

Шаг 1. Составляем краткое условие: белой краски - 30 кг; синей - в 7 раз больше; требуется найти, на сколько синей краски больше.

Слова «в 7 раз больше» показывают, что сначала нужно выполнить умножение.

Умножаем количество белой краски на 7: 30 · 7 = 210 кг.

Полученное число 210 обозначает всё количество синей краски.

Шаг 2. Теперь известны оба количества: 210 кг синей и 30 кг белой краски.

Слова «на сколько больше» требуют разностного сравнения.

Из большего количества вычитаем меньшее: 210 − 30 = 180 кг.

Проверяем разность сложением: 30 + 180 = 210 кг.

Шаг 3. Два действия можно объединить в выражение 30 · 7 − 30.

В выражении сначала выполняется умножение, а затем вычитание.

Шаг 4. Ответ записываем не как общее количество синей краски, а как разницу между двумя количествами.

Единица измерения в обоих действиях и в ответе - килограммы.

Число 210 является промежуточным результатом, а окончательный ответ равен 180 кг.

Шаг 1. Составляем краткую запись: ширина - 2 см; длина - в 3 раза больше; требуется узнать разницу.

Слова «в 3 раза больше» означают, что ширину нужно умножить на 3.

Вычисляем длину: 2 · 3 = 6 см.

Теперь известны обе стороны прямоугольника: длина 6 см и ширина 2 см.

Шаг 2. Чтобы узнать, на сколько одна величина больше другой, из большей величины вычитаем меньшую.

Вычисляем 6 − 2 = 4 см.

Проверяем: 2 + 4 = 6 см, значит, длина действительно на 4 см больше ширины.

Для построения отмечаем отрезок длиной 6 см и из его концов проводим перпендикулярные отрезки длиной 2 см.

Шаг 3. Соединяем свободные концы отрезков и получаем прямоугольник со сторонами 6 см и 2 см.

Противоположные стороны прямоугольника равны: две стороны по 6 см и две стороны по 2 см.

Углы прямоугольника должны быть прямыми, поэтому построение удобно выполнять по клеткам или с помощью угольника.

Шаг 4. На рисунке одна крупная горизонтальная часть соответствует 1 см, поэтому длина занимает 6 частей, а ширина - 2 части.

В ответе указываем разницу сторон, а не длину прямоугольника.

Полный ответ: длина равна 6 см и превосходит ширину на 4 см.

Шаг 1. Сначала определяем длину и ширину каждой фигуры по рисунку.

Прямоугольник ABCD имеет стороны 3 см и 2 см.

Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины, поэтому S = 3 · 2 = 6 см².

Прямоугольник MNOP имеет стороны 2 см и 1 см.

Его площадь равна 2 · 1 = 2 см².

Фигура EFTK является квадратом со стороной 2 см.

Площадь квадрата равна произведению стороны на такую же сторону: 2 · 2 = 4 см².

Сравниваем ABCD и MNOP: 6 > 2, поэтому площадь ABCD больше.

Чтобы узнать разницу площадей, вычитаем: 6 − 2 = 4 см².

Шаг 2. Сравниваем MNOP и EFTK: 2 < 4, поэтому площадь MNOP меньше площади EFTK.

Разница этих площадей равна 4 − 2 = 2 см².

Единица измерения площади - квадратный сантиметр, поэтому используем обозначение см².

Обычный прямоугольник имеет две оси симметрии: вертикальную и горизонтальную линии через середины сторон.

У квадрата есть эти две оси и ещё две оси, совпадающие с его диагоналями.

Следовательно, четыре оси симметрии имеет EFTK, потому что эта фигура является квадратом.

На рисунке ответа четыре оси квадрата показаны двумя средними линиями и двумя диагоналями.

Проверка площадей по клеткам даёт те же результаты: ABCD занимает 6 квадратных единиц, MNOP - 2, EFTK - 4.

Итог сравнения полностью соответствует вычислениям: 6 см² > 2 см² < 4 см².

Шаг 1. Все вычисления записываем по разрядам: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями.

Сложение, вычитание и умножение начинаем с правого разряда.

В примере 651 + 126 складываем единицы: 1 + 6 = 7.

Десятки: 5 + 2 = 7. Сотни: 6 + 1 = 7. Получаем 777.

Проверка сложения: 777 − 126 = 651.

В примере 379 − 253 вычитаем единицы: 9 − 3 = 6.

Десятки: 7 − 5 = 2. Сотни: 3 − 2 = 1. Получаем 126.

Проверка: 126 + 253 = 379.

В примере 306 − 138 из 6 единиц нельзя вычесть 8, поэтому занимаем десяток через нулевой разряд.

Одна сотня превращается в 10 десятков, один десяток отдаём единицам. Получаем 16 − 8 = 8.

Шаг 2. В десятках остаётся 9: 9 − 3 = 6. В сотнях остаётся 2: 2 − 1 = 1. Ответ 168.

Проверка: 168 + 138 = 306.

В примере 402 − 243 также занимаем через ноль.

Единицы: 12 − 3 = 9. Десятки: 9 − 4 = 5. Сотни: 3 − 2 = 1. Получаем 159.

Проверка: 159 + 243 = 402.

Для 453 · 2 умножаем единицы: 3 · 2 = 6.

Десятки: 5 · 2 = 10. Записываем 0 и переносим 1 сотню.

Сотни: 4 · 2 + 1 = 9. Получаем 906.

Проверка: 906 : 2 = 453.

Для 321 · 3 получаем 1 · 3 = 3, 2 · 3 = 6 и 3 · 3 = 9. Ответ 963.

Проверка: 963 : 3 = 321.

Шаг 3. В выражении 5 · 171 переставляем множители и вычисляем 171 · 5.

Единицы: 1 · 5 = 5. Десятки: 7 · 5 = 35, пишем 5 и переносим 3 сотни.

Сотни: 1 · 5 + 3 = 8. Получаем 855. Проверка: 855 : 5 = 171.

В выражении 6 · 98 также меняем множители местами и вычисляем 98 · 6.

Единицы: 8 · 6 = 48, пишем 8 и переносим 4 десятка.

Десятки: 9 · 6 + 4 = 58 десятков, поэтому получаем 588.

Для каждого результата выполняем обратную проверку и сравниваем её с исходным числом.

Шаг 4. Все восемь результатов проверены обратными действиями и совпадают с исходными числами.

Дополнительно сверяем разряды первого сложения: 600 + 100 = 700, 50 + 20 = 70, 1 + 6 = 7; 700 + 70 + 7 = 777.

Для разности 379 − 253 можно выполнить оценку: 380 − 250 примерно равно 130, поэтому точный результат 126 выглядит правдоподобно.

При вычитании из чисел 306 и 402 нельзя просто вычесть большую цифру из меньшей. Заём обязательно проходит через нулевой разряд десятков.

После займа в 306 сотен становится на одну меньше, десятков временно становится 10, а после передачи одного десятка единицам остаётся 9 десятков.

Тот же порядок применяем к числу 402: из 4 сотен остаётся 3, затем из 9 десятков вычитаем 4 десятка.

При умножении 453 на 2 ноль в разряде десятков результата обязателен: десять десятков образуют одну сотню, а десятков после переноса не остаётся.

Произведение 321 · 3 вычисляется без переносов, потому что каждое разрядное произведение меньше 10.

В произведениях 171 · 5 и 98 · 6 перенос возникает в разряде десятков, и его нужно прибавить при вычислении следующего разряда.

651 + 126 = 777.

379 − 253 = 126.

306 − 138 = 168.

402 − 243 = 159.

453 · 2 = 906.

321 · 3 = 963.

171 · 5 = 855.

98 · 6 = 588.

Обратные действия подтверждают часть ответов: 777 - 126 = 651, 126 + 253 = 379, 906 : 2 = 453 и 588 : 6 = 98. Разряды во всех проверках совпадают с исходными числами.

Шаг 1. Перед вычислением определяем порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках.

Внутри скобок и вне их умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания.

Действия одной ступени без скобок выполняются слева направо.

В первом выражении сначала находим значение в скобках: 80 − 35 = 45.

Затем выполняем умножение: 45 · 2 = 90.

Последнее действие первого выражения: 200 − 90 = 110.

Второе выражение отличается отсутствием скобок, поэтому сначала выполняем умножение 35 · 2 = 70.

Шаг 2. После умножения остаются два вычитания, которые выполняем слева направо.

Вычисляем 200 − 80 = 120, затем 120 − 70 = 50.

Разные ответы в первых двух выражениях показывают, что скобки изменяют порядок действий.

В третьем выражении внутри скобок сначала выполняем умножение 4 · 8 = 32.

Затем находим сумму в скобках: 46 + 32 = 78.

Вычитаем полученную сумму из 446: 446 − 78 = 368.

Проверка третьего результата: 368 + 78 = 446.

Шаг 3. В четвёртом выражении внутри скобок сначала выполняется деление 30 : 6 = 5.

После деления вычисляем разность в скобках: 90 − 5 = 85.

Последнее действие: 540 − 85 = 455.

Проверка четвёртого результата: 455 + 85 = 540.

В каждом выражении порядок действий пронумерован отдельно от 1 до 3.

Для первого выражения последовательность имеет вид: скобки, умножение, вычитание.

Шаг 4. Для второго выражения последовательность имеет вид: умножение, первое вычитание слева, второе вычитание.

Для третьего выражения последовательность имеет вид: умножение в скобках, сложение в скобках, вычитание.

Для четвёртого выражения последовательность имеет вид: деление в скобках, вычитание в скобках, внешнее вычитание.

Все промежуточные значения подставлены обратно в выражения, поэтому окончательные результаты можно проверить по цепочке действий.

Проверяем первое выражение одной записью: 200 − (80 − 35) · 2 = 200 − 45 · 2 = 200 − 90 = 110.

Проверяем второе выражение одной записью: 200 − 80 − 35 · 2 = 200 − 80 − 70 = 120 − 70 = 50.

Проверяем третье выражение одной записью: 446 − (46 + 4 · 8) = 446 − (46 + 32) = 446 − 78 = 368.

Проверяем четвёртое выражение одной записью: 540 − (90 − 30 : 6) = 540 − (90 − 5) = 540 − 85 = 455.

Шаг 5. В первом и втором примерах используются одинаковые числа, но скобки заставляют сначала находить разность 80 − 35 только в первом примере.

В третьем примере нельзя сначала вычесть 46 из 446, потому что выражение в скобках нужно вычислить полностью.

В четвёртом примере деление 30 : 6 выполняется раньше вычитания 90 − 5 даже внутри скобок.

После каждого промежуточного действия переписываем неизменившуюся часть выражения, чтобы не потерять знак и числа.

Окончательная самопроверка даёт четыре результата в исходном порядке: 110, 50, 368 и 455.

Шаг 1. Умножаем по разрядам справа налево. Цифру однозначного множителя записываем строго под единицами первого множителя.

196 · 3. Сначала 6 · 3 = 18. В ответе пишем 8 единиц, а 1 десяток переносим. Затем 9 · 3 = 27 десятков; прибавляем перенесённый десяток и получаем 28 десятков. Пишем 8 десятков, 2 сотни переносим. В разряде сотен: 1 · 3 = 3, ещё 2 - всего 5 сотен. Результат равен 588.

438 · 2. С единиц получаем 8 · 2 = 16: записываем 6 единиц и переносим 1 десяток. В разряде десятков 3 · 2 = 6; прибавляем перенесённый десяток и получаем 7 десятков. Переноса в сотни здесь нет. Сотни: 4 · 2 = 8. Результат равен 876.

Положение переносов проверяем отдельно. В первом примере над десятками стоит 1, а над сотнями - 2. Во втором примере переносится только 1 десяток. Эти числа прибавляются именно при вычислении следующего разряда.

Разберём первый пример ещё раз по составу результата. 18 единиц - это 8 единиц и 1 десяток. Затем 28 десятков - это 8 десятков и 2 сотни. После умножения сотен получаем ещё 3 сотни, поэтому всего 2 + 3 = 5 сотен. Так образуется число 588.

Во втором примере 16 единиц превращаются в 6 единиц и 1 десяток. К шести десяткам добавляется этот десяток, поэтому в результате 7 десятков, а не 6. Четыре сотни, умноженные на 2, дают 8 сотен. Полученные разряды 8 сотен, 7 десятков и 6 единиц образуют 876.

Можно выполнить дополнительную проверку сложением: 196 + 196 + 196 = 392 + 196 = 588; 438 + 438 = 876. Она подтверждает оба произведения независимо от письменного алгоритма.

Тот же результат виден при разложении чисел на разрядные слагаемые: 196 · 3 = 100 · 3 + 90 · 3 + 6 · 3 = 300 + 270 + 18 = 588; 438 · 2 = 400 · 2 + 30 · 2 + 8 · 2 = 800 + 60 + 16 = 876.

Проверяем обратным действием: 588 : 3 = 196, а 876 : 2 = 438. Обе проверки возвращают первые множители, значит, произведения найдены верно.

Шаг 2. В письменной записи все одинаковые разряды располагаются один под другим.

196 · 3 = 588.

438 · 2 = 876.