Решение упражнения номер 842 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

842

Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD проведена прямая, пересекающая отрезок АВ в точке М и отрезок CD в точке К. Прямая, проведённая через точку К параллельно отрезку АВ, пересекает отрезок BD в точке Т, а прямая, проведённая через точку М параллельно отрезку CD, пересекает отрезок АС в точке Е. Докажите, что прямые BE и СТ параллельны.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 842 Дано: AB||KT, ME||CD Доказать: BE||CT Доказательство: Так как треугольники BOC и EOT имеют равные углы при вершине O, то S_BOC/S_EOT =(OB∙OC)/(OT∙OE) (1) Так как ME||CK, то ∠K = ∠M (и также ∠C = ∠E) в ΔCOK и ΔEOM. Поэтому S_COK/S_EOM =(CK∙OK)/(OM∙ME)=(CK∙OC)/(OE∙ME), откуда следует, что KO/OM=OC/OE (2) Аналогично, сравнивая ΔKOT и ΔBOM, получаем: S_TOK/S_BOM =(TK∙OT)/(BM∙OB)=(TK∙OK)/(OM∙MB), откуда следует, что TO/OB=OK/OM (3) Из равенств (2) и (3) получаем: OC/OE=TO/OB или OB∙OC=OT∙OE Поэтому, согласно равенству (1), S_BOC=S_EOT⇒S_BTC=S_ETC Итак, треугольники BTC и ETC имеют общее основание TC и равные площади, поэтому их высоты, проведенные из вершин B и E, равны, т.е. точки B и E равноудалены от прямой CT, и поэтому BE||CT. Вывод: что требовалось доказать.