Решение упражнения номер 735 – Геометрия 8 класс Атанасян Л.С.

735

В трапецию с основаниями а и b можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 8 класс Атанасян: 735 Пусть в трапеции ABCD основания AD = a и BC = b (a ˃ b). Поскольку около данной трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная (см. задачу 710), т.е. AB = CD. С другой стороны, поскольку в эту трапецию можно вписать окружность, то AB + CD = 2AB = a + b, откуда AB=(a+b)/2. Пусть BB1 и CC1 – перпендикуляры, проведенные из точек B и C к основанию AD. Тогда, очевидно, BB1 = CC1 = 2r, где r – радиус окружности, вписанной в трапецию. Следовательно, прямоугольные треугольники ABB1 и DCC1 равны по гипотенузе и катету. Поэтому AB1 = C1D, а поскольку B1C1 = BC = b, то 〖AB〗_1=(a-b)/2. По теореме Пифагора из ΔABB1 получаем: 4r^2+(a-b)^2/4=(a+b)^2/4→r=√ab/2. Ответ: r=√ab/2.