Решение упражнения номер 1143 – Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.

1143

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 65). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.

Ответ
Ответ с подробным решением задания Геометрия 9 класс Атанасян: 1143. Рассмотрим ∆ABC с прямым углом ABC, пусть CH- высота, опущенная на гипотенузу. Из того, что ∆AНC~∆CHB, следует (AC/BC)^2=S_ДАНС/S_ДСНВ =k^2, где k – коэффициент подобия эти треугольников. S_ДАНС=1/2 P_ДАНС∙r_1, где r_1- радиус вписанной в ∆AНC окружности. S_ДСНВ=1/2 P_ДАНС∙r_2, где r_2- радиус вписанной в ∆CHBокружности. Получим, что k^2=(1/2 P_ДАНС∙r_1)/(1/2 P_ДАНС∙r_2 )=k∙r_1/r_2 , следовательно r_1/r_2 =k. Длина окружности, вписанной в ∆AНC равна 2πr_1, а в ∆CHB равна 2πr_2, значит отношение длин этих окружностей (2πr_1)/(2πr_2 )=r_1/r_2 =k. Что и требовалось доказать.